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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟565 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题 ①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；  ②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；  ③(Ⅰ)的解不一定是(Ⅱ)的解；  ④(Ⅱ)的解不一定是(Ⅰ)的解．  其中正确的是______ A.①④B.①②C.②③D.③④答案:B[解析] 当Anx=0时，易知An+1x=A(Anx)=0，故(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误． 当An+1x=0时，假设Anx≠0，则有x，Ax，…，Anx均不为零，可以证明这种情况下x，Ax，…，Anx是线性无关的．由于x，Ax，…，Anx均为x维向量，而n+1个n维向量都是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有Anx=0．可知(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解，故②正确，④错误．故选(B)． 问题:2. 已知y1=xex+e2x，y2=xex+e-x是二阶非齐次线性微分方程的解，则此方程为______A.y-y-2y=ex-2xex．B.y+y+2y=ex-2xex．C.y-y-2y=-ex+2xex．D.y+y+2y=-ex+2xex．答案:A[解析] y1-y2=e2x-e-x为对应齐次方程的解． 特征方程为(λ-2)(λ+1)=0，即λ2-λ-2=0，故对应的齐次方程为y-y-2y=0．  代入y1，有故非齐次方程为y-y-2y=ex-2xex，选A．问题:3. 设f(x)在x=x0处存在n阶导数，f(x0)=f(x0)=…=f(n-1)(x0)=0，且(-1)n-1f(n)(x0)＞0，n≥4．则______A.若n为奇数，则f(x0)是f(x)的极大值．B.若n为奇数，则f(x0)是f(x)的极小值．C.若n为偶数，则f(x0)是f(x)的极大值．D.若n为偶数，则f(x0)是f(x)的极小值．答案:C[解析] 将f(x)用泰勒公式展开： ， 移项写成   若n为奇数，则在x=x0两侧，f(x)-f(x0)异号，所以f(x0)不是极值．故A，B不正确．  再令φ(x)=f(x)，将φ(x)按泰勒公式展开：   若n为偶数，则n-1是奇数，n-2是偶数，   当|x-x0|充分小，但x≠x0时，  ， 即  f(x)＜0=f(x0)，  所以，f(x0)是f(x)的极大值．选C． 问题:4. 设二阶常系数齐次线性微分方程y+by+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是______A.[0，+∞)B.(-∞，0]C.(-∞，4]D.(-∞，+∞)答案:A[解析] 因为当b≠±2时，所以，当b2-4＞0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要且即b＞2； 当b2-4＜0时，要想使y(x)在区间(0，+∞)上有界，只需要的实部大于等于零，即0≤b＜2． 当b=2时，y(x)=C1e-x+C2xe-x在区间(0，+∞)上有界：  当b=-2时．y(x)=C1ex+C2xex在区间(0，+∞)上无界．综上所述，当且仅当b≥0时，方程y+by+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，故选A．问题:5. 函数f(x)在x=1处可导的充分必要条件是______． A． B． C． D． 答案:D[解析] A不对，如，但f(x)在x=1处不连续，所以也不可导； B不对，因为存在只能保证f(x)在x=1处右导数存在； C不对，因为而，所以不一定存在，于是f(x)在x=1处不一定右可导，也不一定可导； 由 存在，所以f(x)在x=1处可导．所以选D． 问题:6. 设f(x)在(-∞，+∞)内可导，则______ A．若=-∞，则=-∞． B．若=-∞，则=-∞． C．若=+∞，则=+∞． D．若=+∞，则=+∞．答案:D[解析] 选项A的反例：f(x)=，f(x)=； 选项B的反例：f(x)=x3，f(x)=3x2；  选项C的反例：f(x)=，f(x)=； 选项D的证明：   所以有，=+∞．问题:7. 设则A与B______．A.合同且相似B.相似但不合同C.合同但不相似D.既不相似又不合同答案:C[解析] 显然A，B都是实对称矩阵，由|λE-A|=