精章精练第10章联想“模型函数”破解抽象函数题.pdfVIP

如对您有帮助，欢迎下载支持，谢谢！ 第 10 讲 联想“模型函数”破解抽象函数题 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式 , 只给出一些函数符号及其满足的条件的函 数 . 由于此类试题既能考查函数的概念和性质 , 又能考查学生的思维能力 , 所以备受命题者 的青睐 . 因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开 . 然而抽象来源于具体，抽象 函数一般是由具体的函数抽象而得到的 . 如抽象函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) ，可联想 到 f(x)=kx(k ≠0) ，有 f(x 1)=kx 1 ，f(x 2)=kx 2 ，f(x 1+x2)=k(x 1+x2)=kx 1+kx2 =f(x 1)+f(x 2) ，则 y=kx 就可以作为抽象函数 f(x) 满足 f(x+y)=f(x)+f(y) 的一个 “模型函数” . 分析抽象函数 问题的解题过程及心理变化规律可知，由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相 似结构的某个“模型函数” ，并由“模型函数”的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具 有的某种性质而使问题获解，是我们解决抽象函数问题的一般方法 . 有鉴于此，本文试图 归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数” ，通过联想“模型函数”来破解抽象函数题 . 一、中学阶段学过的常见“模型函数” 抽象函数 模型函数 f(x+y)=f(x)+f(y) y=kx （k 为常数） f(x+y)=f(x)+f(y)-a y=kx+a （k,a 为常数） x f(x+y)=f(x) ·f(y) y=a （a ＞0 且 a ≠ 1） f(xy)=f(x)+f(y) y= log x (a ＞0 且 a ≠1) a f(xy)=f(x) f(y) y=x n （n 为常数） 注：记忆方法：如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数，而积的函数等 于函数的和对应的模型函数为对数函数等 . 二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析 【例 1】已知函数 f(x) 对于任意实数 x 、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ，且当 x＞0 时，f(x) ＞ 0，f(-1)=-2 ，求函数 f(x) 在区间 [-2 ， 1] 上的值域 . 联想： 由 f(x+y)=f(x)+f(y) 联想“模型函数” y=kx （k 为常数）为奇函数， k ＜0 时为 减函数， k ＞0 时为增函数， 从而猜测： f(x) 为奇函数且 f(x) 为 R 上的单调增函数， 且 f(x) 在 [ －2,1] 上有 f(x) ∈[ －4,2]. 解析： 设 x1 ＜x2 且 x 1，x 2 ∈R， 则 x 2-x 1 ＞0， ∴f(x 2 －x 1) ＞0， 2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ∴f(x )-f(x )=f(x -x +x )-f(x )=f(x -x )+f(x )-f(x )=f(x -x ) ＞0， ∴f(x 2) ＞f(x 1), ∴f(x) 为 R 上的单调增函数 . 令 x=y=0, 则 f(0)=0, 令 y=-x ，则 f(-x)=-f(x) ，∴ f(x) 为 R 上的奇函数 . ∴f(-1)=-f(1)=-2 ， ∴f(1)=