大学数学微积分课件：第20讲 第三节、分部积分法第四节、有理函数积分第五节、积分表使用.pptVIP

* * 解（二） * * 特别注意 对于三角函数有理式的积分, 万能置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用万能置换. * * 讨论类型 解决方法 作代换去掉根号. 例8 求积分 解 令 三、简单无理函数的积分 * * * * 例9 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. * * 例10 求积分 解 先对分母进行有理化 原式 * * 简单无理式的积分. 有理式分解成部分分式之和的积分. （注意：必须化成真分式） 三角有理式的积分.（万能置换公式） （注意：万能公式并不万能） 四、小结 * * （1）常用积分公式汇集成的表称为积分表. （2）积分表是按照被积函数的类型来排列的. （4）积分表见《高等数学》（五版）上册 　　（同济大学数学教研室主编）第347页． （3）求积分时，可根据被积函数的类型直接 或经过简单变形后，查得所需结果. 一、关于积分表的说明 * * 例1 求 被积函数中含有 在积分表（一）中查得公式（7） 现在 于是 二、例题 * * 例2 求 被积函数中含有三角函数 在积分表（十一）中查得此类公式有两个 选公式（105） 将 代入得 * * 例3 求 表中不能直接查出, 需先进行变量代换. 令 被积函数中含有 * * 在积分表（六）中查得公式（37） 将 代入得 * * 例4 求 在积分表（十一）中查得公式（95） 利用此公式可使正弦的幂次减少两次, 重复使用可使正弦的幂次继续减少, 直到求出结果. 这个公式叫递推公式. 现在 于是 * * 对积分 使用公式（93） * * 说明 初等函数在其定义域内原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数. 例 * * 将分式分解成部分分式之和时应注意什么？ 思考题 * * 思考题解答 分解后的部分分式必须是最简分式. * * 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？ 思考题 * * 思考题解答 注意前后几次所选的 应为同类型函数. 例 第一次时若选 第二次时仍应选 * * * * * * 苏州大学数学科学学院大学数学部 * * * 第二十讲 内容 第三节、分部积分法 第四节、有理函数积分第五节、积分表使用 * * 第三节、分部积分法 课件制作： * * 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分公式 一、基本内容 * * 例1 求积分 解（一） 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 * * 例2 求积分 解 （再次使用分部积分法） 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) * * 例3 求积分 解 令 * * 例4 求积分 解 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 . * * 例5 求积分 解 * * 例6 求积分 解 注意循环形式 * * 例7 求 解 * * 即 于是 * * 解 两边同时对 求导, 得 * * 合理选择 ，正确使用分部积分公式 二、小结 * * 第四节、有理函数的积分 课件制作： * * 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 一、有理函数的积分 * * 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和. * * （1）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 * * （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 * * 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 * * 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例2 * * 例3 整理得 * * 例4 求积分 解 * * 例5 求积分 解 * * 说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令 * * 则 记 * * 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. * * 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算