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『规律总结』 已知{an}为等差数列,求数列{|an|}的前n项和的步骤: 第一步,解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点. 第二步,求和,①若an各项均为正数(或均为负数),则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数). ②若a10,d0(或a10,d0)这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)可分段求和再相加. 〔跟踪练习2〕 设等差数列{an}的前n项和为Sn,a4+a5+a6+a7+a8=25,S12=54. (1)求an; (2)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. [辨析] 错误的原因在于裂项相消时,没有搞清剩余哪些项. 例题 3 [警示] 运用裂项相消法求和时,要弄清消去的项是与它后面的哪一项相加消去的,找出规律,然后确定首尾各剩余哪些项,切勿出现添项或漏项、错项的错误. 裂项法求数列的和 例题 4 D B 3.设{an}是等差数列,Sn为其前n项和,且S5S6,S6=S7S8,则下列结论错误的是 ( ) A.d0 B.a7=0 C.S9S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 [解析] 由S5S6知a60,由S6=S7知a7=0, 由S7S8知a80,C选项S9S5即a6+a7+a8+a90,∴a7+a80,显然错误. C 4.设等差数列{an}满足a5=11,a12=-3.若{an}的前n项和Sn的最大值为M,则lgM=_____. 2 5.(2018·全国卷Ⅱ理,17)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值. [解析](1)设等差数列{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以{an}的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16. 第 二 章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列前n项和公式的应用 1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案 北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出酒店里把酒瓶层层堆积,底层排成长方形,以上逐层的长、宽各减少一个,共堆n层,堆成棱台的形状,沈括给出了一个计算方法——“隙积术”求酒瓶总数,沈括的这一研究,构成了其后二三百年关于垛积问题研究的开端. 二次 二次 大 小 1.(2018~2019学年度山东日照青山中学高二月考)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 A 2.等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 B 3.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1= ( ) A.18 B.20 C.22 D.24 [解析] ∵S10=S11,∴a11=S11-S10=0, ∴a11=a1+10d=a1-20=0,∴a1=20. B 4.若an=2n-11,则当n=_____时,其前n项和Sn有最小值. 5 5.在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求数列{an}的前n项和Sn的最大值. 互动探究学案 命题方向1 ?等差数列的最值问题 等差数列{an}中,a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小? 例题 1 [点评] 解法一利用等差数列前n项和Sn是n的二次函数(公差d≠0时),通过二次函数求最值的方法求解;解法二利用等差数列的性质由a10及S9=S12知d0,从而数列中必存在一项an≤0且an+10以找出正负项的分界点;解法三利用S9=S12及等差数列的性质.要注意体会各种解法的着眼点,总结规律. 『规律总结』 讨论等差数列前n项和的最值的方法:(一)已知通项时,由an≥0(或an≤0)探求;(二)已知前n项和时,用配方法探求(注意n∈N*);(三)已知Sn=Sm时,借助二次函数性质探求. 〔跟踪练习1〕 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5+5a9=0,且a9a5,则Sn取得最小值时n的值为 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 B 命题方向2 ?含绝对值的数列的前n项和 在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数列{|an|}的前n项和. [分析] 本题实际上是求数列{an}的前n项的绝对值之和,由绝对值的意义,要求我们应首先分清这个数列中的那些项是负的,哪些项非负的.由已知,数列{an}是首项为负数的递增数列,
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