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近世代数的基础知识 初等代数、高等代数和线性代数都称为经典代数（ Classical algebra ），它的研究对象主 要是代数方程和线性方程组） 。近世代数 （modern algebra ）又称为抽象代数 （abstract algebra）， 它的研究对象是代数系， 所谓代数系， 是由一个集合和定义在这个集合中的一种或若干种运 算所构成的一个系统。近世代数主要包括：群论、 环论和域论等几个方面的理论， 其中群论 是基础。下面， 我们首先简要回顾一下集合、 映射和整数等方面的基础知识，然后介绍本文 需要用到的近世代数的相关知识。 3．1 集合、映射、二元运算和整数 3．1．1 集合 集合是指一些对象的总体， 这些对象称为 集合 的元 或元素 。“元素a 是集合 A 的元” 记 作“ x A ”，反之， “a A ”表示“ x 不是集合 A 的元”。 设有两个集合 A 和 B ，若对 A 中的任意一个元素 a （记作 a A ）均有 a B ，则称 A 是 B 的 子集 ，记作 A B 。若 A B 且 B A ，即 A 和 B 有完全相同的元素， 则称它们相等， 记作 A B 。若 A B ，但 A B ，则称 A 是 B 的真子集， 或称 B 真包含 A ，记作 A B 。 不含任何元素的集合叫 空集 ，空集是任何一个集合的子集。 集合的表示方法通常有两种：一种是直接列出所有的元素，另一种是规定元素所具有 的性质。例如： A a, b, c ； S x p(x ) ，其中 p(x) 表示元素 x 具有的性质。 本文中常用的集合及记号有： 整数集合 Z 0, 1, 2, 3, ； 非零整数集合 Z Z 0 1, 2, 3, ； 正整数（自然数）集合 Z 1,2,3, ； 有理数集合 Q ，实数集合 R，复数集合 C 等。 一个集合 A 的元素个数用 A 表示。当 A 中有有限个元素时，称为 有限集 ，否则称为 无限集 。用 A 表示 A 是无限集， A 表示 A 是有限集。 3．1．2 映射 映射是函数概念的推广，它描述了两个集合的元素之间的关系。 定义 1 设 A ，B 为两个非空集合，若存在一个 A 到 B 的对应关系 f ，使得对 A 中的 每一个元素 x ，都有 B 中唯一确定的一个元素 y 与之对应，则称 f 是 A 到 B 的一个 映射 ， 记作 y=f(x) 。 y 称为 x 的像 ，x 称为 y 的原像 ，A 称为 f 的定义域 ，B 称为 f 的定值域 。 定义 2 设 f 是 A 到 B 的一个映射 (1) 若 x , x A 和 x x 均有 f ( x ) f (x ) ，则称 f 是一个 单射 。 1 2 1 2 1 2 (2) 若 y B 均有 x A 使 f (x) y ，则称 f 是 满射 。 (3) 若 f 既是单射又是满射，则称 f 是 双射 。 3．1．3 二元运算 3．1．3．1 集合的笛卡儿积 由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。 定义 3 设 A ，B 是两个非空集合，由 A 的一个元素 a 和 B 的一个元素 b 可构成一个 有序的元素对 （a,b），所有这样的元素对构成的集合， 称为 A 与 B