2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章8.6椭圆(含解析).docxVIP

8.6 椭 圆 1．椭圆的概念 平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数 (大于 F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点 F1，F2 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合 P＝｛ M|MF1＋MF2＝2a｝，F1F2＝2c，其中 a0， c0，且 a，c 为常数： 若 ac，则集合 P 为椭圆； 若 a＝ c，则集合 P 为线段； 若 ac，则集合 P 为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ax22＋by22＝1 ab ay2＋bx2＝1 （ab0） （ab0） 图形 性 质 范围 －a≤ x≤a －b≤ y≤b － b≤ x≤ b － a≤ y≤ a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 坐标 A1（－a,0）， A2（a,0） B1（0，－ b），B2（0， b） A1 （0，－ a）， A2（0， a） B1（－b,0），B2（b,0） 轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b 焦距 F1 F2＝ 2c 离心率 c e＝ a∈ （0,1） a a，b，c 的关系 a2＝b2＋c2 3.椭圆的第二定义 平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到定直线 l(点 F 不在直线 l 上)的距离的比是常数 e(0e1) 的点的轨迹是椭圆．定点 F 是焦点，定直线 l 是准线，常数 e 是离心率． 概 念 方 法 微 思 考 1．在椭圆的定义中，若 2a＝F1F2或 2aF1F2，动点 P的轨迹如何？ 提示 当 2a＝F 1F2时动点 P的轨迹是线段 F1F2；当 2aF1F2时动点 P的轨迹是不存在的． 2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？ 提示由 e＝ 提示 由 e＝ ac＝ 1 － ab 2知，当 a 不变时， e 越大， b 越小，椭圆越扁； e 越小， b 越大， 椭圆越圆． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确 (请在括号中打“√”或“×” ) 椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形． ( √ ) 椭圆上一点 P与两焦点 F1，F2构成△PF1F2的周长为 2a＋2c(其中 a为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距 )． ( √ ) 方程 mx2＋ny2＝1(m0， n0，m≠ n)表示的曲线是椭圆． ( √ ) b2＝ 1(a b0)与 a2＋xb b2＝ 1(a b0)与 a2＋ 题组二 教材改编 1 的焦距为 4，则 m 等于 ( )B．8D．122．椭圆 1 的焦距为 4，则 m 等于 ( ) B．8 D．12 10－m m－ 2 A．4 C ．4 或 8 答案 C 解析 当焦点在 x 轴上时， 10－ mm－20， 10－m－(m－ 2)＝ 4， ∴m＝ 4. 当焦点在 y 轴上时， m－210－m0，m－2－(10－m)＝4，∴m＝ 8. ∴ m＝ 4 或 8. x2 y2 x2 y2A. ＋ ＝ 1A.15＋10＝1C.x x2 y2 A. ＋ ＝ 1 A.15＋10＝1 C.x2＋y2＝1 C.10 15 B. x2 ＋ y2 ＝1 B.25＋20＝1 D.x ＋ y ＝ 1 20 15 答案 A x2 y2 9 4 解析 由题意知 c2＝5，可设椭圆方程为 x ＋y ＝ 1(λ0) ，则 9 ＋4＝1，解得 λ＝10 或 λ λ＋5 λ λ＋ 5 λ ＝－ 2(舍去 )， ∴ 所求椭圆的方程为 1x5＋1y0＝ 1. x2 y2 4．已知点 P是椭圆 x ＋y ＝1上 y轴右侧的一点，且以点 P及焦点 F1，F2为顶点的三角形的 54 面积等于 1，则点 P 的坐标为 ． 答案 215，1 或 215，－1 解析 设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－ 4＝1， 所以 c＝ 1，则 F1(－1,0)，F2(1,0)． 由题意可得点 P 到 x 轴的距离为 1， 所以 y＝ ±1，把 y＝±1代入 x＋y＝1， 54 得 x＝± 215，又 x0，所以 x＝ 215， 所以 P 点坐标为 215， 1 或 215，－ 1 . 题组三 易错自纠 5．若方程 5－x m＋my＋3＝1表示椭圆，则 m 的取值范围是 （ 5－m m＋ 3 A． A．（－ 3,5） C．（－3,1）∪（1,5） 答案 C B．（－5,3） D．（－5,1）∪（1,3） 5－m0， 解析 由方程表示椭圆知 m＋30 ， 5－m≠m＋3， 解得－ 3m5 且 m≠ 1. 6．已知椭圆 x ＋ y ＝ 1（m0） 的离心率 e＝ 10，则 m 的值为 5 m 5 答案 3 或 235 3 解析 若 a2＝5，b2＝m，则 c＝ 5－ m， m＝ 3.由ca＝ 510，即 5－5m＝ 5 m＝ 3. 25 m＝ 3 .若 a2＝