《必威体育精装版计算机数学基础》电子教案 zh-5 5-1.PPTVIP

§5.1 数据的简单描述 5.1.1 均值 5.1.2 方差 5.1.3 频率直方图 5.1.1 均值 产品级别不同，所定的价位也将不同，现要将产品分别定为：一级、二级、三级、四级、不合格，不合格产品将不能出厂。现有两批产品，均有20000件，检测第一批产品的情况如下表5-1所示。由于检验产品费时费力，为减少工作量，第二批采取抽样检验，即只抽取局部产品进行检验，所得情况如下表5-1所示。 按各级别产品的个数除以检验产品总数，可计算得出表5-2所示的两批中不同级别产品各自所出现的频率. 对第一批产品可以严格按照其级别定价，但由于第二批产品没有完全区分出各自级别，对该批产品应如何定价？ 最合理的莫过于给出一个平均价格，按所有产品的各种定价的算术平均值直接得： 对于第一批产品，比较合理的平均价格应为： 但考虑到产品级别以及相应级别中产品个数的不同，这样做似乎不太合理， 其中的0.2075,0.325,0.2875,0.716等称为权重，也称加权系数。 由此可得，对于第二批产品的合理定价也许应为 这就是加权平均值 . (5.1) 定义1 给定一组数据 , 又给定一组正数 且 =1,则称 是 的加权平均值，简称均值， 称为相应于 的权重，简称权。 由于算术平均值可以看做是当权重 （ ）时的加权平均值. 因此，算术平均值是加权平均值的一个特例。 定义2 设一组数据 在权重 下的加权平均值是 ，那么称 (5.2) 是这一组数据 在权重 下的方差。 并称 为数据 在权重 下的标准差。 5.1.2 方差 与加权平均值一样，给定一组数据 假设对各数据出现的可能性一无所知，那么可采用各个数据出现可能性相同的方式计算，此时 分别是这组数据的方差与标准差. 其中 是 的算术平均值。 很明显，方差 是数据各个值偏离数据本身均值的偏离程度平方的均值。 5.1.3 频率直方图 为方便，常用一些数值来分别表示产品的各级别 . 例如，一级品用1表示、2级品用2表示、…、不合格产品用5表示， 从而表5-2的两批产品的各级别出现频率，那么可分别用以以下图形来表示。相应于第一批产品的图形，如图5-1〔a〕所示；相应于第二批产品图形如图5-1(b)所示。 (a) (b) 例1 假设你是某啤酒厂家的生产技术人员，自行设计了一条啤酒自动装瓶生产线，为了慎重起见，在启用前要进行各方面的检测. 现在我们仅看装瓶容积一项的结果是否符合要求. 由于生产设备问题，啤酒装瓶的容积不会完全相同，因而希望建立一个检测方法，来考察生产线装瓶的容积X(它的所有取值的集合就是这里的总体. 它的取值随个体的不同而变化，并且个体的取值没有确定的结果，有的取值大些，而有的取值小些). 为此，你进行装瓶试验，得到了130瓶啤酒的容积(是这里相应总体的一个样本，样本容量N=130)，样本数据如下表5-3. 试由此数据对这个生产线的装瓶情况给予描述。 由于对这批数据的其他信息一无所知，其平均值可用算术平均值来计算，即 它表示了这批数据的“平均〞装瓶容积。 方差也可用相应的公式计算，即： 它们是自动化生产线的真正“平均〞装瓶容积与装瓶容积方差的一个近似值。 如何用图形直观描述这里的数据呢？ 取一个能包含所有数据的区间，并将区间等分成许多小的子区间，考察在每一个小区间内所包含数据的个数(这一个数称为在此区间出现的频数. 频数除以样本容量称为在此区间出现的频率)，以此频数为高度在每一个小区间上画出一个矩形，就得到一个图形，如图5-2。 图5-2 频数直方图 具体地说，图5-2的画图过程为： (1)取区间为[636，644]，并将其分成长度为0.5的小区间16个，即