《高等数学》第四章不定积分.pdfVIP

第四章不定积分 一般来说， 在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算 .在第二章中， 我们学习了导数 与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数 f (x ) 的导数或微分，能否求出 f ( x) ？ 这是我们这一章要讨论的问题 . 第一节不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 如果在区间 I 上 ， 可导函数 F ( x) 的导数为 f (x) ，即对任意 x I ，都有 F (x) f (x) 或 d F (x) f (x ) d x ， 则称 F (x) 为 f (x ) 在区间 I 上的原函数 . 例如，因为 x R, (sin x) cos x ，所以 sinx 是 cosx 的一个原函数； x ( 1,1) ， 1 1 (arcsin x) ，所以 arcsinx 是 在区间 ( 1,1) 内的一个原函数 . 2 2 1 x 1 x 由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数 F ( x) ，求原函数 F (x) . 事实上，研究原函数需要解决下面两个问题： (1) 满足何种条件的函数存在原函数？ (2) 如果原函数存在，它是否唯一？ 关于第一个问题，我们用原函数存在定理回答 . ( 原函数存在定理） 如果函数 f (x ) 在区间 I 上连续 ，则 f (x) 在区间 I 上一定有原 函数 ，即存在区间 I 上的可导函数 F (x) ，使得对任一 x I ， 有 F ( x) f (x) . 将在第五章给出此定理的证明 . 这个定理简单地说就是： 连续函数一定有原函数 . 关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一 . 设 F (x ) 是函数 f (x) 的一个原函数， 即 F ( x) f (x ) , 则 [ F (x) C] f (x) ，其中 C 是任意 常数 . 这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个 . 不妨假设 F (x ) 与 G (x) 是函数 f (x) 的任意两个原函数 , 则有 F (x) f (x) ， G (x ) f (x) . 从而有 (F (x) G (x)) 0 ，即 F (x) G (x) C . 因此， f (x ) 的任意两个原函数之间只相差一个常数 . 换句话说 f (x) 的原函数的全体可表 示为 F (x) C , 其中 C 为任意常数 . 据此，我们给出下述定义 . 在区间 I 上， f (x) 的带有任意常数项的原函数，称为 f (x) 在区间 I 上的不定积 分， 记作 f ( x)d x . 其中记号 称为积分号， f (x) 称为被积函数， f (x)d x 称为被积表达式， x 称为积分变量 . 由不定积分的定义，如果 F (x) 为 f (x) 的一个原函数，则 （ 为任意常数） . f (x )d x F (x) C C ●●例 1 因为 3 2 2 3 . (x ) 3x ，所以 3x