《高等数学》(A)教案第二章.pdfVIP

讲授内容： §2.1 导数概念 教学目的与要求： 1、理解导数的定义以及它的几何意义 2、掌握函数连续与导数存在的关系，导数存在与左右导数存在的关系 3、会求分段函数在分段点处的导数 教学重难点： 重点——导数的定义，导数存在与左右导数的关系 难点——分段函数在分段点处导数的求法， 用定义求抽象函数的导数 教学方法： 讲授法 教学建议： 借助速度和切线的实例引入导数的定义 学时： 3 学时 上一章我们讨论了函数的极限和连续，在此基础上本章将更进一步的研究函数 值的变化快慢，即函数的导数，它是讨论函数特性的基本工具． 一、 引例 : 1. 直线运动的速度 设某质点在数轴上的运动方程为 s=f (t ) (位置函数 ),则从时刻 t0 到时刻 t 的平均 s s0 f (t ) f (t0 ) 速度为 : t t0 t t 0 f (t ) f (t0 ) 当 t→t0 时 ,则有即时速度 (瞬时速度 )为 v= lim .…………（ A ） t t0 t t 0 2. 切线问题 切线 ：设有曲线 C 及 C 上的一点 M ，在点 M 外另取 C 上的一点 N，作割线 MN . 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时，如果割线 MN 绕点 M 旋转而趋于极限位置 MT ， 则直线 MT 称为曲线 C 在点 M 处的切线，即：只要弦长 |MN | 趋于零，则∠ NMT 趋 于零． 设曲线 C 的方程为： y=f(x), M(x0, y0)为曲线 C 上的一点 . 则 y0 =f (x0) ．在曲线 C 上取点 N(x, y)．则割线 MN 的斜率为 : y y f (x) f (x ) 0 0 tan φ= = x x 0 x x0 f (x) f (x ) 当点 N→ M 时，x →x0. 如果极限 lim 0 …………（ B ）存在，设为 x x0 x x0 k, 则称此极限为 切线的斜率． 其中 k=tan α , α为切线 MT 的倾角 . 说明：两个问题的共性： 所求量为函数增量与自变量增量的比值极限， 都是讨论函数的变化率， 类似的： 加速度：速度增量与时间增量的比值的极限． 角速度：转角增量与时间增量的比值的极限． 线密度：质量增量与长度增量的比值的极限 问题：（A ）（B ）两式对较复杂的函数求出一具体的值是很不方便， 为寻求解决此类 问题的简便方法，给出如下导数的定义． 二、 导数的定义 : 1. 导数的定义 : 定义：设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 Δx( 点 x0+ Δx 在该邻域内 )时，相应函数取得增量 Δy=f(x+x0 )-f(x0) ；如果极限： lim y = lim f ( x0 x ) f (