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青浦区2018学年高三年级第二次学业质量调研测试 数学试卷 2019.04 (满分150分，答题时间120分钟) 考生注意： 1 •本场考试时间120分钟•试卷共4页，满分150分•答题纸共2页. 2 •作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，并正确填涂准考证号. 3 •所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位•在试卷上作答 一律不得分. 4 •用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 5 •可使用规定型号的计算器. 一、填空题(本大题共有 12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应 在答题纸的相应位置直接填写结果. 1 1 •不等式 2的解集是 • x 2 •已知复数z满足z(1 i) 2 4i (其中i为虚数单位)，贝y z • 3 .在平面直角坐标系中， a在X轴、y轴正方向上的投影分别是 3、4，则a的单位向量 是 • 6 3 4 •在(1 X)的二项展开式中，含有 X3项的系数为 (结果用数值表示)• 2 5•在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线—y2 1经过抛物线y2 2px(p 0)的焦点，贝y 4 P • 6 .已知 E、F 是互斥事件， P(E) 0.2 , P(EUF) 0.8，则 P(F) • 7 .函数 y sinx arcsinx的最大值为 • x y 1 2 2 8.若变量x, y满足条件 x y 1 0 ，则x y的最小值为 2x y 2 0 9 .已知a,b,c都是实数，若函数 x2 (x a) f (x) i 的反函数的定 b (a x c) x 义域是 ， ，则c的所有取值构成的集 合是 . 10. 已知某四棱锥的三视图如图所示， 贝y该四 棱锥的最长棱的长度为 . 2 11. 已知函数 f(x) x ax b ( a,b R ) 在区间 1,1内有两个零点，则a2 2b的取 值范围是 . uur 12 .已知0为 ABC的外心，ABC - , BO 3 x 3sec 15.已知曲线： (是参数) ,过点P(6, 2)作直线l与曲线 有且仅有 个公共点， y tan 则这样的的直线l有 ( ). (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条 16 .等差数列 a1,a2丄,an(n 3, n N*)满足 |a1 | |a2 | L |an | 旧 1| a 1| L |an 1| |ai 2| © 2| L |an 2| 2019，则 ( ). (A) n的最大值为50 (B) n的最小值为 50 (C) n的最大值为51 (D) n的最小值为 51 三、解答题(本大题共有 5题，满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要 的步骤. 17. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，圆柱是矩形 QOAA绕其边OiO所在直线旋转一周所得， AB是底面圆的直径，点 C 是Ab的中点. (1) 求三棱锥A ABC体积与圆柱体积的比 值； (2) 若圆柱的母线长度与底面半径相等，点 M是线段AO1的中点，求异面直线CM与BQ所 成角的大小. 18. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A, B两地，A处位于东西方向的直线 MN上的陆 3 地处，B处位于海上一个灯塔处， 在A处用测角器测得tan BAN ，在A处正西方向1km的 4 点C处，用测角器测得tan BCN 1 .现有两种铺设方案：①沿线段 AB在水下铺设；②在岸 铺设费用分别为 2万元/m、4万元/km. (1 )求代B两点间的距离； (2)请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 19. (本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) (1) 求a的值，使得f (x)为奇函数； a 2 (2) 若a 0且f( x) - -对任意x 3 20. (本题满分16分)本题共3小题，第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题6分. 在平面直角坐标系 xOy中，对于任意一点 P(x, y)，总存在一个点 Q(x,y)满足关系式： X x : ( 0 , 0 )，则称 为平面直角坐标系中的伸缩变换. y y 2 2 (1) 在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换 ，使得椭圆4x 9y 36变 换为一个单位圆； (2) 在同一直角坐标系中，△ AOB ( O为坐标原点)经平面直角坐标系中的伸缩变换 x x : ( 0 , 0 )得到△ AOB，记△ AOB和厶AOB的面积分别为S与S , y y 求证：S - S 2 2 x y (3)若厶EFG的三个顶点都在椭圆 —^1( a b 0)，且椭圆中心恰好是