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第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩 向量是研究代数问题的重要工具。在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。但是， 在很多实际问题中， 往往需要研究更多维的向量。 例如， 描述卫星的飞行状态需要知道卫星 的 位 置 x, y , z 、 时 间 t 以 及 三 个 速 度 分 量 v x , vy ,vz ， 这 七 个 量 组 成 的 有 序 数 组 x, y , z,t ,vx , vy ,vz 称为七维向量。更一般地，本章将引入 n 维向量的概念，定义向量的线 性运算， 并在此基础上讨论向量组的线性相关性， 研究向量组与矩阵的秩、 向量组的正交化 等问题。 这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性， 化二次型为标准形 等奠定理论上的基础。 §1 n 维向量 作为二维向量、三维向量的推广，现给出 n 维向量的定义 定义 1 n 个数 a ,a , ,a 组成的有序数组（ a , a , ,a ），称为 n 维向量 。数 a 1 2 n 1 2 n i 称为向量的 第 i 个分量 （或第 i 个分量 ）。 向量通常用希腊字母 , , , 等来表示。 向量常写为一行 a ,a , , a = （ 1 2 n ） 有时为了运算方便，又可以写为一列 a1 a2 a n 前者称为 行向量 ，后者称为 列向量 。行向量、 列向量都表示同一个 n 维向量。 设 ( a ,a , , a ), (b , b , , b ) 都是 n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 1 2 n 1 2 n 量相等，即 a b (i 1,2, , n) 时，称向量 与向量 相等，记作， 。 i i 分量全为零的向量称为 零向量 ，记为 0 ，即 0= (0,0, ,0 ) 若 ( a ,a , , a ) ，则称 ( a , a , , a ) 为 的 负向量 ，记为 。 1 2 n 1 2 n 54 下面讨论 n 维向量的运算。 定 义 2 设 (a1, a2 , , an ), (b1 ,b2 , , bn ) 都 是 n 维 向 量 ， 那 么 向 量 ( a b , a b , , a b ) 叫做向量 与 的和向量 ，记做 ，即 1 1 2 2 n