线性方程组复习资料.docx

线性方程组 1、消元法求解线性方程组例1．解线性方程组 解：将方程组的增广矩阵 通过矩阵的初等变换，化为行简化的阶梯形矩阵 由最后的矩阵写出原方程组的同解方程组（本题即为方程组的唯一解） ， ， ， 注释 ：消元法是解线性方程组最有效最基本的方法，通过该例题我们得到： 求解线性方程组的一般步骤是： 第一步，首先将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯形矩阵； 第二步，根据阶梯形矩阵判断是否有解（ 是否等于 ）； 第三步，有解时，继续对阶梯形矩阵利用初等行变换化为行简化阶梯形矩阵； 第四步，由行简化阶梯形矩阵写出方程组的解。 2、求齐次线性方程组的基础解系的简便方法例2． 求下列齐次线性方程组的基础解系 （ 1） （ 2） 解（ 1）将其系数矩阵 用初等行变换化为行简化矩阵 最后一矩阵的第 1、3、4列构成了 3阶单位矩阵，所以 ，从而该方程组的基础解系含 个解向量。 解法 1 将上面最后一个矩阵的 2、5列反号，依次得基础解系的两个解向量 的第 1、3、4三个坐标，而 的另两个坐标依次取 2阶单位矩阵的两列，即基础解系为 ， 解法 2 由上面最后一个矩阵得（ 1）的同解方程组 （ 为自由未知量） 令 ，得 即 （ 为任意常数） 所以基础解系为 ， （ 2） 将其系数矩阵 用初等行变换化为行简化矩阵 由此得 ，而最后一矩阵的前 2列2行构成一 2阶单位矩阵，所以基础解系含两个解 向量 ，且 的前两个分量分别为上面最后一矩阵 3、4列前两个坐标的相反数，而它们的后两个分量分别为 2阶单位矩阵的两列，即 ， 另从最后一个矩阵得与原方程组同解的方程组 （ 为自由未知量） 令 ，得原方程组的通解为 即 （ 为任意常 数） 所以基础解系为 ， 注1：方法 1直接从行简化矩阵找基础解系， 若要求通解， 只需作基础解系的任意线性组合即得。方法 2是先得到通解，再得到基础解系，所以基础解系与通解同时给出。 注2： 前面我们给出的是基础解系的简便求法，而基础解系不是唯一的，只要 个解向量线性无关即可为基础解系。所以有时为了避免解向量的分量为分数我们可灵活选取， 比如上面例 2在（2）题法 2中可令 ，则得基础解系为 ， ． 例3．设 为 矩阵，且 ，则 有非零解。 证法一 因 为 矩阵，知未知量的个数为 ， ，故 ，于是由非零解。 证法二 本题 是含 个方程， 个未知量的齐次线性方程组，因 ，即方程的个数小于未知量的个数，故有非零解。 证法三 由于 ，说明 的 个列向量线性相关，故必有非零解。注释 ： 当齐次线性方程组方程的个数小于未知量的个数时，必有无穷多解。 例4．设 ，证明若 有 个互不相同的根， 则 为零多项式。 证：设 的 个互不相同的根分别为 ，则 是关于 个未知量， 个方程的齐次线性方程组，其系数矩阵 的行 列式为 阶范德蒙行列式，由于 互不相同，知 ，从而上齐次线性方程组只有零解，即 ，所以 为零多项式。 3、齐次线性方程组 例5．设齐次线性方程组 的系数矩阵为 ，若 3阶非零矩阵 满足 ，试求 及 的值。 解：由 知矩阵 的各个列向量均为齐次线性方程组 的解向量，而 ，所以 至少有一个列向量为非零向量，从而 有非零解，故 ，又 所以 . 由 均为 3阶方阵，且 ，得 ，所以 的各列均为 的解，而为非零矩阵，所以 有非零解，从而知 . 注 释 ： 我们 可 由 判 断 ， 事 实 上若 ， 则 可 逆 。 于 是 由 得 ，显然不对，故可知 . 例6．求作一齐次线性方程组，使它的基础解系为 ， ． 分析： 由于已知的是齐次线性方程组的基础解系，即已知 ， ，要求系 数矩阵 ，我们可通过对前式转置构造一个以 为系数矩阵的齐次线性方程组， 且 为其解向量来求 。 解： 设所求的齐次线性方程组为 ，由题设 ， ， 从而 所以有 ， 即 于是所求齐次线性方程组的系数矩阵 的转置矩阵 的各个列向量， 即 的各个行向 量为 的解。由 所以 的基础解系为 ， 由于 为四元线性方程组且基础解系含有两个解向量，所以 ，从而可取 使齐次线性方程组 满足题设要求。 注释： 由上面两题我们看出当有结论 成立时， 应立即想到 的每个列向量均为齐次线性方程组 的解。这是证明题中常用的方法。 例 7 ． 设 是 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系 ， 向 量 组 满 足 （ ），如果矩阵 的行列式 ，则 也为该齐次线性方程组的基础解系。 证：由 （ ）知 （ ）为该方程的 个解向量， 且 而 ，所以 可逆，于是 所以向量组 也是 的线性组合，从而向量组 与等价，又两个向量组均含有 个向量，且 为基础解系，故 也为该齐次线性方程组的一个基础解系。 注释： 证明 个未知量的齐次线性方程组 的一组解向量为其基础解系的方法有以下两种： ①证该组向