3、中考数学压轴试题--因动点产生的直角三角形问题.pdfVIP

§1．3 因动点产生的直角三角形问题 课前导学 我们先看三个问题： 1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C 的轨迹是什 么？ 2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C 的轨迹是什么？ 3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标． 图1 图2 图3 如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除 外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点， 都是符合题意的点B，共6个． 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第 三步解方程并验根． 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新 的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC 的 顶点C在y轴上，求点C 的坐标． 我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个 符合条件的点C． 如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB． 3 4 m 设OC＝m，那么 ． m 1 这 个 方 程 有 两 个 解 ， 分 别 对 应 图 中 圆 与 y 轴 的 两 个 交 点． 图4 例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题 如图1，已知抛物线E ：y＝x 经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E 经过点B(2,2)，1 2 2 点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′、B′． （1）求m 的值及抛物线E 所表示的二次函数的表达式；2 （2）如图1，在第一象限内，抛物线E 上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的1 三角形为直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，P为第一象限内的抛物线E 上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛1 物线E 相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比． 2 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名 “15益阳21”，拖动点P在抛物线E 上运动，可以体验到，点P1 始终是线段OP′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB′有两个． 思路点拨 1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、 P′的坐标． 2．分别求线段AA′∶BB′，点P到AA′的距离 ∶点P′到BB′的距离，就可以比较 △PAA′与△P′BB′的面积之比． 图文解析 （1）当x＝1时，y＝x ＝1，所以A(1, 1)，m＝1．2 2 1 1 2 设抛物线E 的表达式为y＝ax，代入点B(2,2)，可得a＝ ．所以y＝ x ．2 2 2 （2）点Q在第一象限内的抛物线E 上，直角三角形QBB′存在两种情况：1 图3 图4 ①如图3，过点B作BB′的垂线交抛物线E 于Q，那么Q(2, 4)．1 1 ②如图4，以