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高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、 B(3 , 2) 且圆心在直线 y 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与圆的关 系． 分析： 欲求圆的标准方程， 需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点 P 与圆的位置关系， 只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径， 则点在圆外； 若距离等于半径， 则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一： （待定系数法） 设圆的标准方程为 (x a)2 ( y b)2 r 2 ． ∵圆心在 y 0上，故 b 0 ． 2 2 2 ∴圆的方程为 (x a) y r ． 又∵该圆过 A(1, 4) 、 B(3 , 2) 两点． 2 2 (1 a) 16 r ∴ 2 2 (3 a) 4 r 2 解之得： a 1， r 20 ． 所以所求圆的方程为 (x 1)2 y2 20 ． 解法二： （直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过 A (1 , 4) 、 B(3 , 2) 两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为 4 2 kAB 1 ，故 l 的斜率为 1，又 AB 的中点为 (2 , 3) ，故 AB 的垂直平分线 l 的方程为： 1 3 y 3 x 2 即 x y 1 0 ． 又知圆心在直线 y 0 上，故圆心坐标为 C ( 1 , 0) 2 2 ∴半径 r AC (1 1) 4 20 ． 2 2 故所求圆的方程为 (x 1) y 20 ． 又点 P(2 , 4) 到圆心 C ( 1 , 0 ) 的距离为 2 2 d PC (2 1) 4 25 r ． ∴点 P 在圆外． 2 2 例 2 求半径为 4，与圆 x y 4x 2 y 4 0 相切，且和直线 y 0相切的圆的方程． 1 / 21 分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 2 2 2 解： 则题意，设所求圆的方程为圆 C：(x a) ( y b) r ． 圆 C 与直线 y 0相切，且半径为 4，则圆心 C 的坐标为 C (a , 4) 或 C (a , 4) ． 1 2 又已知圆 x2 y 2 4x 2 y 4 0 的圆心 A 的坐标为 (2 , 1) ，半径为 3． 若两圆相切，则 CA 4