高考数学函数零点专题.pdfVIP

专题 2. 函数的零点 高考解读 求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实 际问题是高考的热点； 备考时应理解函数的零点， 方程的根和函数的图象与 x 轴的交点的横坐标的等价性； 掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力． 知识梳理 1．函数的零点与方程的根 (1) 函数的零点对于函数 f ( x) ，我们把使 f ( x) ＝0 的实数 x 叫做函数 f ( x) 的零点． (2) 函数的零点与方程根的关系 函数 F( x) ＝f ( x) －g( x) 的零点就是方程 f ( x) ＝g( x) 的根，即函数 y ＝f ( x) 的图象与函数 y ＝g( x ) 的图 象交点的横坐标． (3) 零点存在性定理 如果函数 y＝f ( x) 在区间 [ a ，b] 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 f ( a) ·f ( b)0 ，那么，函数 y ＝f ( x ) 在区间 ( a，b) 内有零点，即存在 c ∈( a，b) 使得 f ( c) ＝0, 这个 c 也就是方程 f ( x ) ＝0 的根．注意以 下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点． (4) 二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2 ．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题 方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数 f ( x) ， ( ) ，即把方程写成 ( ) ＝ ( ) 的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象 g x f x g x 的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系 . 高频考点突破 考点一函数的零点判断 例 1、【2017 课标 3 ，理 11】已知函数 f (x) x2 2x a(ex 1 e x 1) 有唯一零点，则 a= 1 1 1 ． ． ．1 A B． C D 2 3 2 x 【变式探究】 (1) 函数 f ( x ) ＝e ＋x －2 的零点所在的区间是 ( ) 1 1 A. (0, ) B. ( ,1) C．(1,2)D ．(2,3) 2 2 2 (2) 已知偶函数 y＝f ( x) ，x ∈R 满足： f ( x) ＝x －3x( x ≥0) ，若函数 g( x) ＝则 y ＝f ( x) －g( x) 的零点个 数为 ( ) A．1B．3C．2D．4 【方法技巧】函数零点的求法 (1) 直接求零点：令 f ( x) ＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2) 零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 [ a，b] 上是连续不断的曲线，且 f ( a) ·f ( b)0 ，还必 须结合函数的图象与性质 ( 如单调性、奇偶性 ) 才能确定函数有多少个零点． (3) 利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几 个不同的零点． 【变式探究】设 f ( x ) ＝ln x ＋x－2 ，则函数 f ( x) 的零点所在的区间为