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1. 立方倍积问题 假设已知立方体的棱长为 c，所求立方体的棱长为 x. 按给定的条件， 应有 3 3 x =2a . 令 a ＝1，则上述方程取更简单的形式 3 x -2=0. 根据初等代数知识， 如果上述的有理系数三次方程含有有理根， 不外 3 是± 1，±2. 但经逐一代入试验，均不符合 . 可见方程 x -2=0 必 不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题 . 2. 三等分任意角问题 对于已知的锐角∠ O=θ，设 OP、OS是它的三等分角线 . 以 O 为圆心，单位长为半径画弧，交∠ O 的两边于点 A、B，交三等分 角线 OS于点 C.过点 C作 CD⊥OA，交 OA于点 D.这样，OS能否用尺规来作 出，就等价于点 C 能否用尺规作出，也就是点 D 能否用尺规来作出 . 令 OD=x，则有 3 4x -3x-cos θ＝0. 如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出， 则点 D不可得， 于是射线 OS也就不能作出 . 欲证明此事，可选一特例考察之 . 3 8x -6x-1=0. 以 2x=y 代入此方程，可得较简单的形式 3 y -3y-1=0. 3 根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程 y -3y-1=0 含有有理根， 不外是± 1. 但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根 . 于 3 是，根据本书第 14 页定理 2 可知，方程 y -3y-1=0 的任何实根不能用尺 规作图来完成，即 60°角不能用尺规三等分 . 三等分 60°角尚且不能 , 这 就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题 . 当然，这个结论是对一般情形而言的， 假如 θ等于某些特殊值， 则作 图未必就不可能 . 例如，当 θ=90°时，便有 cos90 °=0，此时方程 3 4x -3x-cos θ=0 就变为
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