高中数学竞赛-历届imo试题(1-46届)及答案资料.pdf

1. 求证 (21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n 都是最简分数。 2. 设√ (x+ √(2x-1))+ √(x- √(2x-1))=A ，试在以下 3 种情况下分别求出 x 的实数 解： (a) A= √2 ；(b)A=1 ；(c)A=2 。 3. a、b 、c 都是实数，已知 cos x 的二次方程 2 a cos x + b cos x + c = 0, 试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c ，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5. 在线段 AB上任意选取一点 M，在 AB 的同一侧分别以 AM、MB为底作正方形 AMCD、 MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N， (a.) 求证 AF 、BC相交于 N 点； （b.) 求证 不论点 M如何选取 直线 MN都通过一定点 S ； (c.) 当 M在 A 与 B 之间变动时，求线断 PQ 的中点的轨迹。 6. 两个平面 P、Q交于一线 p，A 为 p 上给定一点， C为 Q上给定一点，并且这两点都 不在直线 p 上。试作一等腰梯形 ABCD（AB平行于 CD），使得它有一个内切圆，并且顶点 B、D 分别落在平面 P 和 Q上。 1. 找出所有具有下列性质的三位数 N ：N能被 11 整除且 N/11 等于 N 的各位数字的平 方和。 2. 寻找使下式成立的实数 x ： 2 2 4x /(1 - √(1 + 2x)) 2x + 9 3. 直角三角形 ABC的斜边 BC 的长为 a，将它分成 n 等份（ n 为奇数），令 为从 A 点 向中间的那一小段线段所张的锐角，从 A 到 BC边的高长为 h ，求证： 2 tan = 4nh/(an - a). 4. 已知从 A、B 引出的高线长度以及从 A 引出的中线长，求作三角形 ABC。 5. 正方体 ABCDABCD （上底面 ABCD，下底面 ABCD ）。X 是对角线 AC 上任意一 点， Y 是 BD 上任意一点。 a. 求 XY 中点的轨迹； b. 求 (a) 中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点 Z 的轨迹。 6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。 令 V1 为圆锥的体积， V2 为圆柱的体积。 (a). 求证： V1 不等于 V 2 ； 1 2 (b). 求 V /V 的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7. 等腰梯形 ABCD，AB平行于 DC，BC=AD。令 AB=a,CD=c，梯形的高为 h 。X 点在对称 轴上并使得 角 BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的 X 点并计算 X 到两底的距离；再 讨论在什么样的条件下这样的 X 点确实存在。 1. 设 a、b