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积分中值定理中；的极限 杨勇洪 （楚雄师范学院数学系2005级2班）指导老师郎开禄 摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中 n的极限，获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限 The limit of n in integral theorem of mean Yan zilan Abstract： In this paper, we discussed the limit of -n in the improvement integral theorem of mean， several meanin gful results are obta in ed. Key words： Integral ； Theorem of mean ； limit 导师评语： 在文[1] （[1]. 郎开禄?积分中值定理注记[J].楚雄师范学院学报，2008，23（ 6）： 7-15.）中讨论了改进后的广义积分中值定理中 n的极限，并获得了两个基本结果，并讨论了 其应用.在文[2] （[2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004 : 223-226， 272.）中讨论了积分中值定理中 ；的极限，获得了几个基本结果. 受文[1]- [2] 的启发，在文[1]- [2] 的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中 n的极限，获得了的三个结论（定理 8至定理10）,并讨论了其应用. 杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中 n的极限》选题具有理论与实际意义 ，通过深入研 究，该论文获得了关于积分中值定理中 ；的极限的三个结论，并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度，其结果在理论与实际上都有重要意义 .论文语言流畅，打印行文规范 ，是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强 . 积分中值定理中；的极限 改进后的积分中值定理指出， 若Fn(x)在［a,b］连续，则至少存在一点 ；■ (a,b)，使得 b Fn(x)dx=Fn「n)(b-a)(n =1,2…).此时n取值于(a,b)内，但随n的变化而变化，若 a lim n存在，则lim n有可能等于a，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限 TOC \o 1-5 \h \z n_.， n_；: 时应特别小心(见文［1］). 改进后的广义积分中值定理指出，若 Fn(x)在［a,b］连续，则至少存在一点 (a,b)， b b 使得 a Fn(x)g(x)dx = Fn「n). a g(x)dx(n = 1,2…).此时；取值于(a,b)内，但随 n 的 变化而变化，若lim n存在，则lim n有可能等于a，或b .若这种情况出现，在应用积分 n^^ n_ac 中值定理求极限时也应特别小心 ? 在文［2］中，讨论了改进后的积分中值定理中 n的极限并获得了几个基本结果， 文［1］受 文［2］的启发，讨论了改进后的广义积分中值定理中 n的极限，获得了两个基本结果 ?在本 文中，我们改进了文［1］中的一个结果的条件，获得了文［1］中同样的结果，并讨论了其应用? 1积分中值定理 定理1 3(积分中值定理)若函数f (x)在闭区间［a,b］连续，则至少存在一点 ［a,b］， TOC \o 1-5 \h \z b u 使得 f (x)dx = f ( )(b - a) ? -a 定理2 3(广义积分中值定理)若函数 f (x)与g(x)在闭区间［a,b］连续，且g(x)在 丸 b b ［a,b］不改变符号，则至少存在一点[a,b]，使得 f(x)g(x)dx 二 f( ) g (x)dx ? ［a,b］不改变符号，则至少存在一点 a a 定理1和定理2表明，■在闭区间［a,b］中取到，故就有可能取左端点 a，或取右端点b， 也有可能在开区间(a,b)中取到? 2改进后的积分中值定理 定理34」5】(积分中值定理)若函数 f(x)在闭区间［a,b］连续，则至少存在一点 H b H (a, b)，使得 f (x)dx 二 f ( )(b - a) ? a 定理44」5丨(广义积分中值定理) 若函数f (x)与g(x)在闭区间［a,b］连续，且g(x)在 b b ［a,b］不改变符号，则至少存在一点 -(a,b)，使得.a f(x)g(x)dx二f( ).ag(x)dx? 定理3和定理4表明，?一定能在开区间(a, b)中取到? 3积分中值定理中n的极限 关于积分中值定理中 n的极限，在文［2］中，有下列结果： 定理52丨(1)设f(x)在［a,b］是非负、严格递增连续函数，记 Fn(x) = fn(x)，由改 进后的积分中值定理，即由定理 3，至少存在一点 (a,b)，使得