2018版高中数学人教版A版选修11学案：2.1.2椭圆的简单几何性质一[001]正式版.docxVIP

2.1.2 椭圆的简单几何性质 (一 ) [学习目标 ] 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质， 并正确地画出它的图形 .2.根据几何条件 求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象 . 知识点一 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 范围 顶点  x2 y2 a2＋ b2＝ 1(ab0) a≤ x≤ a，－ b≤ y≤ b A1(－ a,0)， A2(a,0)，B1(0，－ b)， B2(0， b)  y2 x2 a2＋ b2＝ 1(ab0) b≤x≤ b，－ a≤ y≤ a A1(0，－ a)， A2(0， a)， B1(－ b,0)， B2(b,0) 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率  短轴长＝ 2b，长轴长＝ 2a ( ± a2－ b2， 0) (0， ± a2－ b2) |F 1F 2|＝ 2 a2－b2 对称轴： x 轴、 y 轴 对称中心：原点 c e＝ ∈ (0,1) 知识点二 离心率的作用 当椭圆的离心率越接近 1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近 0，则椭圆越接近于圆 . 题型一 椭圆的简单几何性质 例 1 求椭圆 25x2＋y2＝25 的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标 . 2 y 2 解 把已知方程化成标准方程为 ＋ x ＝1， 则 a＝5， b＝ 1. 所以 c＝ 25－ 1＝ 2 6， 因此，椭圆的长轴长 2a＝ 10，短轴长 2b＝2， 两个焦点分别是 F1(0，－ 2 6)， F2(0,2 6)， 椭圆的四个顶点分别是 A1(0 ，－ 5)， A2(0,5) ， B1 (－ 1,0)，B2(1,0). 反思与感悟 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆 的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a， b， c 之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性 质 . 跟踪训练 1 求椭圆 m2 x2＋ 4m2y2＝ 1 (m0) 的长轴长、 短轴长、 焦点坐标、 顶点坐标和离心率 . 解 椭圆的方程 m2x2＋ 4m2y2＝ 1 (m0)可转化为 2 ＋ y ＝ 1. 11 m2 4m2 ∵ m2 2，∴ 12 1 2 1 ，短半轴长 b＝ 1 ，半 4 m m 4m ， ∴ 椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a＝ m 2m 焦距长 c＝ 3 2m. ∴ 椭圆的长轴长 2a＝ 2 ，短轴长 2b＝ 1 ， m m 焦点坐标为 (－ 3， 0)， ( 3， 0)， 2m 2m 1 1 1 1 顶点坐标为 (m， 0)， (－ m， 0)， (0，－ 2m)， (0， 2m). 3 c 2m 3 离心率 e＝ a＝ 1 ＝ 2 . m 题型二 由椭圆的几何性质求方程 例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 1，焦距为 8； y 轴上，其离心率为 2 2 (2)已知椭圆的离心率为 e＝ 3，短轴长为 8 5. 解 (1) 由题意知， 2c＝8， c＝ 4， e＝ c＝ 4＝ 1， ∴a＝ 8， a a 2 从而 b2 ＝a2 －c2＝ 48， 2 椭圆的标准方程是 y ＋ x ＝ 1. 64 48 (2)由 e＝ c ＝2，得 c＝ 2 a， a 3 3 又 2b＝ 8 5， a2＝ b2＋ c2，所以 a2 ＝144， b2＝ 80， 所以椭圆的标准方程为 x2 ＋ y2 ＝ 1 或 x2 ＋ y2 ＝ 1. 144 80 80 144 反思与感悟 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程 的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程 (组 )确定 a，b，这就是 我们常用的待定系数法 . 跟踪训练 2 椭圆过点 (3,0)，离心率 e＝ 6，求椭圆的标准方程 . 3 解 ∵所求椭圆的方程为标准方程， 又椭圆过点 (3,0)， ∴ 点(3,0) 为椭圆的一个顶点 . ① 当椭圆的焦点在 x 轴上时， (3,0)为右顶点，则 a＝3， ∵ e＝ c＝ 6， ∴ c＝ 6 6× 3＝ 6， a 3 3 a＝ 3 b2＝ a2－ c2＝ 32－ ( 6)2＝ 9－ 6＝ 3， 2 椭圆的标准方程为 x ＋ y ＝ 1. 9 3 ② 当椭圆的焦点在 y 轴上时， (3,0)为右顶点，则 b＝3， ∵ e＝ c＝ 6， ∴ c＝ 6 a 3 3 a， b2＝ a2－ c2＝ a2－ 23a2＝ 13a2， a2＝ 3b2 ＝27， 2 椭圆的标准方程为 y ＋x ＝1. 27 9 2 ＋ y 2 或 y 2 ＋ x 2 综上可知，椭圆的标准方程是 x ＝ 1 ＝ 1.