20172018学年高中数学第一章计数原理3第一课时组合与组合数公式教学案北师大版选修23201802222284正式版.docxVIP

第一课时 组合与组合数公式 [ 对应学生用书 P10] 组合的有关概念 [ 例 1] 给出下列问题： 从 a， b， c， d 四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？ (2) 从 a，b，c，d 四名学生中选两名学生完成两件不同的工作， 有多少种不同的安排方 法？ a，b， c， d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？ a，b， c， d 四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？ [ 思路点拨 ] 要分清是组合还是排列问题，只要确定取出的这些元素是否与顺序有关． [ 精解详析 ] (1) 两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题； 两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题； 单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题； 冠亚军是有顺序的，是排列问题． [ 一点通 ] 区分一个问题是排列问题还是组合问题， 关键是看它有无“顺序”， 有顺序就是排列问题， 无顺序就是组合问题． 要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来， 看交换元素的顺序对结果有无影响， 有影响就是“有序”， 也就是排列问题； 没有影响就是“无序”，也就是组合问题． 1．判断下列问题是组合问题，还是排列问题． 设集合 A＝ { a， b， c，d} ，则集合 A的含有 3 个元素的子集有多少个？ 从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ 从 1,2,3,4 四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的可能？ (4) 会场有 50 个座位，要求选出 3 个座位有多少种方法？若选出 3 个座位安排 3 个客人 入座，又有多少种方法？ 把 4 本相同的数学书分给 5 个学生，每人至多得一本，有多少种分配方法？ (6)4 个人去干 5 种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ 解： (1) 组合问题，因为集合中取出元素具有“无序性”． 组合问题，由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法时，与两个元素的位置无关． 排列问题，两个元素做除法时，谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关． 第一问是组合问题，第二问是排列问题，“入座”问题同“排队”，与顺序有关． (5) 组合问题，由于  4 本数学书是相同的，不同的分配方法取决于从  5 个学生中选择哪 4 个人，这和顺序无关． (6) 排列问题，因为种，按一定的顺序分配给  5 种工作是不同的，一种分工方法就是从 4 个人，它与顺序有关．  5 种不同的工作中选出  4 有关组合数的计算与证明 [例 2] 求值： (1)C 4 3 3 98 199 ； 10 7 3 100 200 38－ n 3n (3)C 3n ＋ C21＋n . [ 思路点拨 ] 用组合数公式和组合数的性质解决． [ 精解详析 ] 4 3 (1) 原式＝ C10－ A7 10×9×8×7 4×3×2×1 －7×6×5＝ 210－210＝ 0. 9819921 100×99 (2)C 100＋ C200＝ C100＋ C200＝ ＋ 200 2 ＝ 4 950 ＋ 200＝5 150. 38－ n≤3n， (3) ∵ ∴9.5 ≤ n≤10.5. 3n≤21＋ n， ∵ n∈N＋ ，∴ n＝ 10. 38－n 3n 28 30 2 1 C3n ＋ C21＋ n＝ C30＋ C31 ＝C30＋ C31 30×29 2×1 ＋ 31＝ 466. [ 一点通 ] (1) 对于组合数的有关运算，除了利用组合数公式外，还要注意利用组合数 的两个性质，对式子进行适当的变形，选择最恰当的公式计算． 有关组合数的证明问题，一般先依据组合数的性质化简，再用组合数的阶乘形式证 明． 2 ＝ 28，则 n 的值为 ( ) 2．若 Cn A． 9 B． 8 C． 7 D． 6 2 n！ ！＝ n n－ 解析：∵ Cn＝ 2！ n－ 2 ＝ 28， n( n－ 1) ＝ 56，即 n＝ 8. 答案： B 4 5 6 成等差数列，则 12 3．若 Cn ， Cn ， Cn Cn 的值为 ________． 解析：由已知，得 5 4 6 ， n n n n！ 所以 2· 5！ n－ ！＝4！  n！ n！ n－ ！ ＋6！ n－ ！， 整理，得 n2－ 21n＋98＝ 0，解得 n＝7 或 n＝ 14. 12 要求 Cn 的值，故 n≥12，所以 n＝ 14， 214×13 于是 C14＝ C14 ＝ 2×1 ＝91. 答案： 91 m n m－ 1 4．证明： Cn＝ Cn－ 1. m 证明：∵ n m－1 n n－ ！ ·Cn－1＝ · n－ －