2018版高中数学人教B版选修22学案：2习题课综合法和分析法正式版.docxVIP

习题课 综合法和分析法 明目 、知重点 加深 合法、分析法的理解， 用两种方法 明数学 ． 1． 合法 合法是中学数学 明中最常用的方法， 它是从已知到未知， 从 到 的 推理方法， 即从 中的已知条件或已 的真 判断出 ， 一系列的中 推理， 最后 出所要求 的命 ． 合法是一种由因 果的 明方法． 合法的 明步 用符号表示是： P0(已知 )? P1 ? P2? ? ? Pn( ) 2．分析法 分析法是指从需 的 出 ， 分析出使 个 成立的充分条件， 使 化 判定那些条件是否具 ， 其特点可以描述 “ 果索因”， 即从未知看需知，逐步靠 已知．分析法的 写形式一般 “因 ??， 了 明??， 只需 明??， 即??，因此，只需 明??，因 ??成立，所以??， 成立”． 分析法的 明步 用符号表示是： P0(已知 )?? ?Pn－ 2?Pn －1?Pn( ) 分析法属 方法范畴，它的 体 在分析 程步步可逆． 型一 恰当的方法 明不等式 2 例 1 a， b， c 任意三角形三 ， I ＝a＋ b＋ c， S＝ ab＋ bc＋ ca， ： 3S≤ I 4S. 2 2 2 2 2 明 I ＝ (a＋ b＋ c) ＝ a ＋ b ＋ c ＋ 2ab＋ 2bc＋ 2ca a2＋ b2＋ c2＋ 2S. 欲 3S≤ I 24S， 即 ab＋ bc＋ ca≤ a2＋ b2＋ c22ab＋ 2bc＋ 2ca. 先 明 ab＋ bc＋ ca≤ a2 ＋ b2 ＋c2 ， 只需 2a2＋ 2b2＋2c2≥ 2ab＋ 2bc＋ 2ca， 即( a－ b)2 ＋(a－c)2＋ (b－c)2≥ 0， 然成立； 再 明 a2＋ b2＋ c22ab＋ 2bc＋ 2ca， 只需 a2－ ab－ ac＋ b2－ ab－ bc＋ c2－ bc－ ca0， 即 a(a－ b－ c)＋ b(b－a－ c)＋ c(c－ b－ a)0 ，只需 ab＋ c，且 bc＋ a，且 cb＋ a， 由于 a、 b、 c 为三角形的三边长， 2 上述三式显然成立，故有 3S≤I 4 S. 反思与感悟 本题要证明的结论要先进行转化，可以使用分析法．对于连续不等式的证明， 可以分段来证， 使证明过程层次清晰． 证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知 的重要不等式，其中常用的有如下几个： 2 (1) a ≥ 0(a∈ R)． 2 2 2 ≥ 2ab， ( a＋ b 2 2 2 ≥ a＋ b 2 (2)(a－ b) ≥ 0(a、 b∈R)，其变形有 a ＋ b 2 ) ≥ ab，a ＋ b 2 . (3) 若 a，b∈ (0，＋ ∞ )，则 a＋ b≥ ab，特别地 b＋a≥ 2. 2 a b (4) a2＋ b2＋ c2≥ ab＋ bc＋ ca(a， b，c∈ R)． 跟踪训练 1 已知 a， b 是正数，且 a＋b＝ 1，求证： 1＋ 1≥ 4. a b 证明 方法一 ∵ a， b 是正数且 a＋ b＝ 1， ∴a＋ b≥ 2 ab， ∴ ab≤ 1， ∴1＋ 1＝ a＋ b＝ 1 ≥ 4. 2a b ab ab 方法二 ∵a， b 是正数， ∴ a＋ b≥ 2 ab0 ， 1＋ 1≥ 2 1 a b ab0， ( a＋ b)( 1＋ 1)≥ 4. a b 又 a＋ b＝ 1， ∴ 1＋1≥ 4. a b 方法三 1 1 a＋ b a＋ b b a b a ＋ ＝ a ＋ ＝ 1＋ ＋ ＋1≥2＋2 ·＝ 4.当且仅当 a＝b 时，取 “ ＝” 号． a b b a b a b 题型二 选择恰当的方法证明等式 例 2 已知△ ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，对应的三边为 a，b，c，求证： 1 ＋ a＋ b 1 ＝ 3 b＋ c a＋ b＋c. 证明 要证原式，只需证 a＋ b＋c＋ a＋ b＋c＝ 3， a＋ b b＋ c c ＋ a 2＋a2＋ ab ＝ 1， 即证 ＝ 1，即只需证 bc＋ c2 a＋ b b＋ c ab＋ b ＋ ac＋bc 而由题意知 A＋ C＝ 2B， π 2 2 2 ∴B＝3， ∴ b ＝ a ＋ c － ac， bc＋c2 ＋a2＋ ab bc＋ c2 ＋a2＋ ab ∴ ab＋ b2＋ ac＋ bc＝ ab＋ a2＋c2 －ac＋ ac＋ bc 2 2 ＋ ab bc＋ c ＋ a ＝ ab＋ a2＋ c2＋ bc＝ 1， ∴原等式成立，即 1 ＋ 1 ＝ 3 a＋ b b＋ c a＋ b＋ c. 反思与感悟 综合法推理清晰， 易于书写， 分析法从结论入手易于寻找解题思路． 在实际证 明命题时， 常把分