实变函数与泛函分析基础(第三版)--------第四章-复习指导.pdfVIP

主要内容 为了建立勒贝格积分理论的需要，本章专门讨论一类重要的函数——可测 函数。它一方面和我们熟悉的连续函数有密切的联系，同时又在理论上和应用上 成为足够广泛的一类函数，学习本章时应注意以下几点。 一、可测函数的概念及其运算性质是本章的重要内容。可测函数的定义及给 出的一些充要条件（如定理4.2.1 等）是判断函数可测的有力工具，应该牢固熟 练地掌握和应用它们。可测函数关于加、减、乘、除四则运算和极限运算都是封 闭的。可测函数上、下确界函数和上、下极限函数还是可测的，所有这些性质反 映了可测函数的优越和方便之处。 　　二、可测函数列的收敛性也是本章的重要内容之一。几乎处处收敛和依测度 收敛是勒贝格积分理论中经常使用的两种收敛形式。叶果洛夫定理揭示了可测函 数列几乎处处收敛与一致收敛之间接关系。通过这个定理，可以把不一致收敛的 函数列部分的 “恢复”一致收敛，而一致收敛在许多问题的研究中都起着重要作 用。勒贝格定理（定理 4.3.2）告诉我们：在测度有限的集合上，几乎处处收敛 的可测函数列必是依测度收敛的，反之并不成立。然而，黎斯定理（定理 4.3.3）指出：依测度收敛的可测函数列必有几乎处处收敛的子序列。 三、可测函数的构造是本章的又一重要内容。一般常见的函数，如连续函数， 单调函数等都是可测函数。然而，可测函数却未必是连续的，甚至可以是处处不 连续的（如迪里克雷函数）。所以，可测函数类比连续函数类要广泛得多。而鲁 金定理指出了可测函数与连续函数之间的关系，通过这个定理，常常能把可测函 数的问题转化为关于连续函数的问题来讨论从而带来很大的方便。 　　四、关于论证方法和技巧方面也有不少值得注意的。如定理 4.2.6 证明中的 构造方法是富有启发性的，读者应深入体会，叶果洛夫定理证明中的思想和分析 的方法；鲁金定理证明中先考虑简单函数，然后再往一般的可测函数过渡，这种 由特殊到一般的证明方法在许多场合都是行之有效的。 复习题 一、判断题 n E  R a 1、设f (x) 是定义在可测集 上的实函数，如果对任意实数 ，都有E [x f (x)  a] 为可测集，则f (x) 为E 上的可测函数。（√ ） n E  R a 2 、设f (x) 是定义在可测集 上的实函数，如果对某个实数 ，有E [x f (x)  a] 不 是可测集，则f (x) 不是E 上的可测函数。（√ ） 3、设f (x) 是定义在可测集E  R n 上的实函数，则f (x) 为E 上的可测函数等价于对某个 a 实数 ， E [x f (x)  a] 为可测集。（× ） 1 4 、设f (x) 是定义在可测集E  R n 上的实函数，则f (x) 为E 上的可测函数等价于对任意 a 实数 ， E [x f (x)  a] 为可测集。（× ） 5、设f (x) 是定义在可测集E  R n 上的实函数，则f (x) 为E 上的可测函数等价于对任意 a 实数 ， E [x f (x)  a] 为可测集。（√ ） 6、设f (x) 是定义在可测集E  R n 上的实函数，则f (x) 为E 上的可测函数等价于对任意 a 实数 和 （ ）， E [x a  f (x)  b] 为可测集。（× ） b a  b 7、设E 是零测集，f (x) 是E 上的实函数，则f (x) 为E 上的可测函数。（√ ） 8、若可测集E 上的可测函数列{f n (x) }在E 上几乎处处收敛于可测函数f (x) ，则{f n (x) } 在E 上“基本上”一致收敛于f (x) 。（× ） 9、设