蹦床安全系统性问题数学建模.docxVIP

蹦床运动的安全性问题 摘 要：本文首先从简化蹦床系统的模型开始，通过人接触弹簧压至最低 端并人通过蹬伸给系统能量， 及弹簧从低端将人弹起两个过程深入研究， 从而计算出蹦床的运动机理并探究其安全性给出相应建议。 在模型一中，将蹦床简化为弹簧与振子系统，在无外界阻力的理想条件下， 重点放在人的碰撞时弹簧与蹦床质子从平衡位置到最底端能量、 速度与时间的关 系。及其从最低端至蹦床与人分离时的运动方程。 每次人蹦起时速度为 v 2v1 ， 每次蹦起的最大高度为 h  2 v2 n 1 * 1 v  （ n 为碰撞次数）。由上述两式及文中 2 g 图像可知，以后人蹦起的速度越来越大，高度越来越高，与实际不太相符，故提出模型二。 在模型二中， 考虑弹簧的阻尼振动带来的阻力消耗能量， 接触中不单单是弹性势能与重力势能及动能的转换，还应有阻尼振动消耗的能量，一模型中 应变为模型二中的 计算知，达到最大高度时，人便不会再继续升高。 一、问题的背景和重述 蹦床（ bounding table ）是一项运动员利用从蹦床反弹中表现杂技技巧的竞技运动，它属于体操运动的一种。 蹦床这种设备是由若干根一端连接在固定支撑， 另一端连接在弹性网面而构成的机械设备。 由于人员较高速的起落及其在空中的不可控性，蹦床的安全性能直接关系到运动员、娱乐者的人身安全。 为此我们建立数学模型研究蹦床安全性能。 将模型适当简化为弹簧——振子系统， 将弹性网面视为一质点。 考虑人体的重力，下落的高度，弹簧的刚度及承受力，蹦床与地面间的距离等，通过受力分 析，建立该系统竖直方向的运动模型， 并得到相应的运动方程。 并分析系统在何种条件下可以让人员安全运动。完成对蹦床安全性能的研究。 二、基本假设 假设 1 质点与弹簧，弹簧与支架在任何强度下连接点都不脱离。 假设 2 运动过程中空气密度不变，人受空气阻力的截面积不变。 假设 3 系统不受风、温度、支架强度等外界干扰。 假设 4 所有弹簧条件完全一致且都为圆柱螺旋弹簧， 假设 5 设地面为参考面， 假设 6 人每次接触和离开弹性面时，弹性面都处于静止状态， 假设 7 不计弹簧的质量，不计人本身的高度， 假设 8 人每次接触弹性面时给系统补充的能量都一样， 三、符号定义 M M 人体的质量 H 蹦床距地面间的距离 v 人体的速度 r 弹簧的自然长度（蹦床的半径） k 弹簧的刚度 a 人体的加速度 S 人距参考面的最大高度 m 弹性网面的质量 g 重力加速度 N 弹簧数目 弹簧的阻尼系数 k 空气的摩擦系数 h0 人和弹性面的平衡位置距参考面的距离 W 弹簧阻尼力做的功 Q 人每次接触弹性面时给系统补充的能量 四、模型的建立与求解与分析 人 h0 x0 弹簧 蹦床质点 初始状态 平衡位置  h0 处：  mg Nk 2 2 x0 xxrr0r2 2 x x r r 0 r 0 hrr0M m g Nk 2 2 h0 h r r 0 hr2 2 h r 0 每次人下降接触到弹性网面，人便会给系统补充能量 Q , 假设 Q 全部转化为弹簧储存的能量，这样人的速度就不会突变。 模型一： 第一次下降过程，（人走上弹性网面，并给系统能量 Q ）：此时系统的运动弹簧振子系统： 下面求振幅 x A0 和相位 0 ： A0 sin t 0 下降到最低点位置 x1 处，能量守恒： 求得 x1 为：  Q M m  gx1 N 2 2 xr1 x r xr2 2 kxdx x r 0 x2QNk x 1 N 2 k2 x 2 M 0N 2 k 2 0 m 2 g 2 M m g Nk 将t 0 和 x  h0 x0 A0 x1 代入可求出 h0 2k 2 0 ；并且 M m 第一次上升过程，与下降时对称，在水平面处分离，同为： x A0 sin t 0 分离时人的速度满足（动能定理） ： v1 v 2 2  x2 r 2 M 2 求得： m 1 0 Q M 2Q 2 M m gx0 m gx 0 N r kx 2 kxdx v2 0 0 v 1 M m 由动能定理，在空气中上升到最高点： 10 1 mv2 mgh 1 1 第二次下降的过程中： 2 21 Mv 2 0 Mg h x 2 1 0 2 运动方程为： h 与弹性面接触下降到最低点： gt 2 2 20 1 Mv 2 Q 2 2  M m gx2 N 2 2 xr2 x r xr2 kxdx x r 0 运动方程为： A1 x2 h0 x A1 sin t 0 不变 0 第二次上升到水平面： v21 M m 2 0 2Q M 2 v 2  m gx0  2 2 xr0 x r kxdx r 由动能定理，在空气中上升到最高点