复变函数课后部分习题解答精编版..docVIP

???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 1.2 求下列各式的值。 5 1）( 3 -i) 解： 3 -i=2[cos( -30 °)+isin(-30 °)] =2[cos30 °- isin30 °] 5 ° 5)-isin(30 ° 5)] ( 3 -i) =25 [cos(30 =2 5 (- 3/2-i/2) =-16 3 -16i 1 ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 1.2 求下列式子的值 2）（1+i ） 6 解：令 z=1+i 则 x=Re（z）=1，y=Im（z）=1 r= z = x 2 y2 = 2 tan = y =1 x x0,y0 属于第一象限角 = 4 1+i= 2 （cos +isin ） 4 4 （1+i ） 6 =（ 2 ） 6 （cos 6 +isin 6 ） 4 4 =8 （0-i ） =-8i 1.2 求下式的值 (3)6 1 2 ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 因为 -1= （cos +sin ） 所以 6 1 =[cos( 2k /6)+sin( 2k /6)] (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一 1.2 （4）求 (1-i) 1 3 的值。 3 ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 1 1 解： (1-i) 3 =[ 2 (cos- +isin- )] 3 4 4 = 6 2 [cos( (8k 1) )+isin( (8k 1) )] 12 12 (k=0,1,2) 1.3 求方程 z3 +8=0 的所有根。 解：所求方程的根就是 w=3 8 因为 -8=8 （cos +isin ） 所以 3 8 = [cos( +2k )/3+isin( +2k )/3] k=0,1,2 4 ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 其中 =3 r =3 8 =2 即 w1 =2[cos /3+isin /3]=1 — 3 i w2 =2[cos( +2 )/3+isin( +2 )/3]=-2 w3 =2[cos( +4 )/3+isin( +4 )/3]= 1 — 3 i 习题二 1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域， 并指明它是有界还是 无界的，单连通还是多连通的。 (1) Im(z)0 解：设 z=x+iy 因为 Im(z)0 ，即， y0 5 ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 而 x ( , ) 所以，不等式所确定的区域 D为：不包括实轴的上半平面。 由所确定的区域可知，不存在某一个正数 M，使得确定区域内的每个点 z 满足 z M ，所以该区域是无界的。 在该区域 D 内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于 D 区域，所以区域 D 为单连通区域。 综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。 描出下列不等式的区域或闭区域， 并指出它是有界还是无界的， 单连通的还是多连通的。 1.5 （2） 解：该不等式的区域如图所示： 6 ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? y 1 5 x 圆 + =4 的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域 1.5. 描出下列不等式所确定的区域或闭区域， 并指明它是有界的还是 无界的，单连通的还是多连通的 0Re(z)1 7 ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 由直线 X=0与 X=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、 开的单连通区域。 1.5 描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的 还是无界的，单连通的还是多连通的： （4） 2 z 3 8 ???????????????????????必威体育精装版 料推荐??????????????????? 解： 2 z 3 即 4 x2 y2 9 为由圆周 x2 y2 4 与 x2 y2 9 所围成的环形闭区域（包括圆周） ，是有界多连通闭 区域。 如图： 已知映射 w=z3 ， 求 （1）点 z1 =i ，z2 =1+i ，z3= 3 +i ，在 w平面上的像。 解： z=r ei θ，则 w=z3r 3 。于是 i ⑴ Z1=i=e 2 , 9 ????????????????????