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圆锥曲线题型总结（同名11303） 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识: 1、 中点坐标公式：x=T，y =宁，其中x,y是点A%%), B(x2,y2)的中 点坐标。 2、 弦长公式：若点 A(Xi,yJ, B(X2,y2)在直线 y 二 kx b(k -■ 0)上， 则％ =kM b，y2 =kx2 b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技 巧之一， AB = J(为—X2)(1 J)[( yi y2)2 -4%丫2】。 两条直线h：y=kix bj2：y=k2X b2垂直：则矶一 1 两条直线垂直，则直线所在的向量v,?V2=0 韦达定理：若一兀二次方程ax2 bx c (1 J)[( yi y2)2 -4%丫2】。 两条直线h：y=kix bj2：y=k2X b2垂直：则矶一 1 两条直线垂直，则直线所在的向量v,?V2=0 韦达定理：若一兀二次方程ax2 bx c=O(a=O)有两个不同的根为％， 贝V x X2 = -b,X1X2 =-。 a a 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 =(1 k2)[(Xi X2)2 -4曲2] 或者 |AB = J(Xi —X2)2 +(yi — y2)2 =屮”一扛)2 +(yi — y2)2 珂(1 + ￡)(yi — y2)2 题型七：弦或弦长为定值问题 题型八：角度问题 问题九：四点共线问题 问题十：范围问题（本质是函数问题） 问题^一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m存在实 数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、 菱形、正方形），圆） 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 2 2 例题1、已知直线l：^kx 1与椭圆c：x- V-.1始终有交点，求m的取 4 m 7 值范围 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T（-1,0）作直线i与曲线N : y2=x交于A、B两点, 在X轴上是否存在一点E（x。,0），使得叭BE是等边三角形，若存 在，求出X。；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于 0。 设直线i ： y = k（x⑴， k ■ 0， A（xi, yi）， B（X2,y2）。 由yk(x °消y 由yk(x °消y整理，得 |y =x 2 2 2 2 k x (2k -1)x k =0 由韦达定理，得: x-i x2 二 2k2 -1 2— , X-X2 =1。 k 2 2 例题3、已知椭圆C :笃2=1(a b O)的 a b 离心率为于，且在x轴上的顶点分别为 Ai(-2,0),A2(2,0)。 (I )求椭圆的方程； (II)若直线i：x=t(t 2)与X轴交于点T,点P为直线1上异于点T 的任一点，直线PAi,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线 MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I） 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A、B、C是椭圆E: ￡唐=1 （a b o）上的三点， a b 解其中点A（2 3,0）是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O,且 a^lB^=o， BC=2，AC， 如图。（I）求点C的坐 标及椭圆E的方程；（II）若椭圆E上存在 两点P、Q,使得直线PC与直线QC关 于直线x~3对称，求直线PQ的斜率。 解 题型五：共线向量问题 2 2 例题5、设过点D(0,3)的直线交曲线M :于P、Q两点, 9 4 且DPu=iDQu，求实数i的取值范围。 解：设 P(xi,yi),Q(X2,y2),QDpu=iDQU (xi,yi-3)=1 (X2,y2-3)即^ = 3?i(y2- 3) 判别式法、韦达定理法、配凑法 设直线PQ的方程为：y = kxQk = o，由y;kx 3 消y整理后，得 4x +9y =36 (4 9k2)x2 54kx 45 = 0t P、 Q是曲线M上的两点 r； =(54k)2 -4 45(4 9k2) = 144k2 -80 _0 由韦达定理得:Xix2 =-54 k24 9k4524 9k(% x )2 由韦达定理得: Xi x2 =- 54 k 2 4 9k 45 2 4 9k (% x )2 =冬 1 \ p x1x 2 x 2 x 1 542k2 45(4 9k2) 36 5(i)2 9k2 4 , 4 2 — 1 2 9k2 9k2 由①得 0 ：：：丄乞1 9k2 5 ，代入②，整理得 ② 5 _ 当直线PQ的斜率不存在，即x = 0时，易知一 5或」。 5 总之实数l的取值范围是1,5。 _5 题型六：面积问题 例题6、已知椭圆C