第6讲利用导数研究函数零点问题.pdfVIP

第 6 讲 利用导数研究函数零点问题 利用最值 (极值 )判断零点个数 [ 典例引领 ] 1 2 已知函数 f(x)＝－ ax ＋(1 ＋a)x－ln x(a ∈R) ． 2 (1)当 a ＞0 时，求函数 f (x) 的单调递减区间； 1 (2)当 a ＝0 时，设函数 g(x)＝xf(x)－k(x ＋2) ＋2.若函数 g(x)在区间 [ ，＋∞ )上有两个零 2 点，求实数 k 的取值范围． 【解 】 (1) f(x)的定义域为 (0 ， ＋ ∞) ， 1 (ax －1)(x－1) f(x)的导数为 f ′(x)＝－ ax ＋1＋a － ＝－ (a＞0) ， x x 1 ①当 a ∈(0 ， 1)时 ， ＞1. a 1 由 f ′(x) ＜0 ，得 x ＞ 或 a＜ 1. a 1 所以 f(x) 的单调递减区间为 (0 ， 1)， ， ＋ ∞ ； a ②当 a＝1 时 ，恒有 f ′(x)≤ 0， 所以 f(x) 的单调递减区间为 (0 ， ＋ ∞) ； 1 ③当 a ∈(1 ， ＋ ∞)时 ， ＜ 1. a 1 由 f ′(x) ＜0, 得 x＞ 1 或 x＜ . a 1 所以 f(x) 的单调递减区间为 (0 ， )，(1 ， ＋ ∞ )． a 综上 ，当 a ∈(0 ， 1)时， 1 f(x)的单调递减区间为 (0 ， 1)， ， ＋ ∞ ； a 当 a ＝1 时 ，f(x) 的单调递减区间为 (0 ， ＋∞)； 1 当 a ∈(1 ，＋ ∞)时 ，f(x)的单调递减区间为 (0 ， ) ，(1 ， ＋∞)． a 2 1 (2)g(x) ＝x －xln x－ k(x＋2) ＋2 在 x ∈[ ， ＋ ∞) 上有两个零点 ， 即关于 x 的方程 k ＝