2021年线面垂直面面垂直知识点总结经典例题和解析高考题练习和答案.docVIP

直线、平面垂直判定和性质 【考纲说明】 1、能够认识和了解空间中线面垂直相关性质和判定定理。 2、能够利用公理、定理和已取得结论证实部分空间图形位置关系简单命题。 【知识梳理】 一、直线和平面垂直判定和性质 直线和平面垂直 （1）定义：假如直线和平面α内任意一条直线全部垂直，我们就说直线和平面α相互垂直，记作⊥α，直线叫做平面α垂线，平面α叫做直线垂面。图，直线和平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 （2）判定定理：一条直线和一个平面内两条相交直线全部垂直，则该直线和此平面垂直。 结论：假如两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作. （3）性质定理：垂直于同一个平面两条直线平行。即. 由定义知：直线垂直于平面内任意直线。 直线和平面所成角 平面一条斜线和它在平面上射影所成锐角叫做这条直线和这个平面所成角。一条直线垂直于平面，该直线和平面所成角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线和平面所成角是角。 二面角平面角 从一条直线出发两个半平面所组成图形叫做二面角，这条直线叫做二面角棱，这两个半平面叫做二面角面。假如记棱为，那么两个面分别为二面角记作.在二面角棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱射线，则两射线所组成角叫做叫做二面角平面角。其作用是衡量二面角大小；范围：. 二、平面和平面垂直判定和性质 1、定义：通常地，两个平面相交，假如它们所成二面角是直二面角，就说这两个平面垂直. 2、判定：一个平面过另一个平面垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作. 3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线直线和另一个平面垂直，记作. 【经典例题】 【例1】（ 浙江文）设是直线,a,β是两个不一样平面 （　　） A．若∥a,∥β,则a∥β B．若∥a,⊥β,则a⊥β C．若a⊥β,⊥a,则⊥β D．若a⊥β, ∥a,则⊥β 【答案】B 【解析】利用排除法可得选项B是正确,∵∥a,⊥β,则a⊥β.如选项A:∥a,∥β时, a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,⊥a,∥β或;选项D:若若a⊥β, ⊥a,∥β或⊥β. 【例2】（ 四川文）下列命题正确是 （　　） A．若两条直线和同一个平面所成角相等,则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面距离相等,则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线和这两个平面交线平行 D．若两个平面全部垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【答案】C 【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线三点到另一个平面距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面能够平行,也能够垂直;故D错;故选项C正确. 【例3】（ 山东）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等点集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确是 （　　） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②④ 【答案】C 【解析】图1，当直线m或直线n在平面α内时有可能没有符合题意点；图2，直线m、n到已知平面α距离相等且所在平面和已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意点；图3，直线m、n所在平面和已知平面α平行，则符合题意点为一条直线，从而选C. 【例4】（ 四川理）图，在正方体中，、分别是、中点，则异面直线和所成角大小是____________. 【答案】90o 【解析】方法一:连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1 所以,DN⊥平面A1MD1, 又A1M平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90o 方法二:以D为原点,分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, 所以,cos = 0,故DN⊥D1M,所以夹角为90o 【例5】（ 纲领理）三棱柱中,底面边长和侧棱长全部相等,,则异面直线和所成角余弦值为_____________. 【答案】 【解析】设该三棱柱边长为1,依题意有, 则 而 【例6】（ ·福建）图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF长度等于________． 【答案】eq \r(2) 【解析】∵EF∥面AB1C，∴EF∥AC. 又E是AD中点，∴F是DC中点． ∴EF＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(2). 【例7】（ 山东文）图,几何体是四棱锥,△为正三角形,. （