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求展开式系数的六种常见类型 求展开式中的系数是高考常考题型之一 ,本文以高考题为例，对二项式定理 试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、 ( a b) n (n N ) 型 ． 2 y) 10 6 4 项的系数是（ ） 例 1 (x 的展开式中 x y （A）840 （ B）－ 840 （C）210 （D）－ 210 解析：在通项公式 Tr 1 C10r ( 2y)r x10 r 中令 r =4，即得 ( x 2 y)10 的展 开式中 x6 y4 项的系数为 C104 ( 2) 4 =840,故选 A 。 例 2． (x 1 ) 8 展开式中 x5 的系数为 。 x r 8 r 1 r r r 8 3 r 3 解析：通项公式 Tr 1 ( ) ( 1) x ，由题意得 8 ， C8 x C8 2 r 5 x 2 则 r 2 ，故所求 x 5 的系数为 ( 1)2 C82 28 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数， 由待定 系数法确定 r 的值。 二 、 (a b)n (c d ) m (n, m N ) 型 例 3． (x 3 2) 4 ( x 1 ) 8 的展开式中整理后的常数项等于 . x x C4r ( 2) r ( x3 )4 r 解 析 ； ( x3 2 )4 的 通 项 公 式 为 Tr 1 C4r ( 2)r x12 4 r , 令 x x 12 4r 0 ，则 r 3 , 这 时得 ( x3 2)4 的展 开式中的常数项为 C43 23 =－ 32, x ( x 1 )8 的通项公式为 Tk 1 C8k ( 1 ) k x8 k C8k x8 2k ,令 8 2k 0，则 k 4 ,这时得 x x ( x 1 )8 的展开式中的常数项为 C84 =70，故 ( x3 2) 4 ( x 1 ) 8 的展开式中常数项 x x x 等于 32 70 38 。 例 4． 在 (1 x)5 (1 x)6 的展开式中，含 x3 的项的系数是（ ） (A) 5 (B) 5 (C) 10 (D) 10 1 / 5 解 析 ： (1 x) 5 中 x3 的 系 数 C53 10 , (1 x) 6 中 x 3 的 系 数 为 3 3 20 ,故 (1 x)5 (1 x)6 的展开式中 x3 的系数为 10 ,故选 D 。 C6 ( 1) 评注： 求型如 ( a b) n ( c d ) m (n, m N ) 的展开式中某一项的系数，可分 别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。 三 、 ( a b) n (c d ) m ( n, m N ) 型 例 5． (x2 1)( x 2)7 的展开式中 x3 项的系数是 。 解析： ( x 2) 7 的展开式中 x 、 x 3 的系数分别为 C 71 ( 2) 6 和 C 73 ( 2) 4 ，故 ( x 2 1)( x 2) 7 的展开式中 x 3 项的系数为 C71 ( 2)6 + C 73 ( 2) 4 =1008。 例 6． x 1 8 ） x 1 的展开式中 x5 的系数是（ （ A ） 14 （ B ） 14 （ C ） 28 （ D） 28 略解： ( x 1)8 的展开式中 x4 、 x5 的系数分别为 C84 和 C85 ,故 x 1 x 1 8 展 开式中 x 5 的系数为 C84 C85 14 ,故选 B。 评注：求型如 ( a b) n (c d) m (n, m N ) 的展开式中某一项的系数，可分别 展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。 四 、 (a b c)n (n N ) 型 例 7． ( x 1 2) 5 的展开式中整理后的常数项为 . 2 x 解法一： ( x 1 2) 5 = ( x 1 ) 5 C5k 22k ( x 1 2 ，通项公式 Tk 1 )5 k , 2 x 2 x 2 x ( x 1 )5 k 的 通 项 公 式 为 Tr 1 C5r k x r x5 k r 2 (5 k r ) C5r k x5 2r k 2k r 5 , 令 2 x 5 2r k 0 ，则 k 2r 5 ，可得 k 1,r 2 或 k 3, r 1或 k 5, r 0 。 1 15 2 当 k 1, r 2 时，得展开式中项为 C51C42 2 2 2 2 ； 2 当 k 3, r 1 时,，得展开式中项为 C53C21 2 2 2 1 20 2 ； 2 / 5 当