完整版求数列的前n项和列教案例题习题.docVIP

. 数列求和的常用方法 公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式， 特别声明 ：运用等比数列求和公式，务必检查其 公比与 1 的关系，必要时需分类讨论 .； ③ 常 用 公 式 ： 1 2 2 2 1 1 2 3 L n 2 n( n 1) ， 1 2 L n 6 n(n 1)(2 n 1) ， 13 23 33 L n3 [ n(n 1)] 2 . 2 例 1 、已知 log3 x 1 ，求 x x2 x3 xn 的前 n 项和 . log 2 3 解 ：由 log 3 x 1 log 3 x log 3 2 x 1 2 log 2 3 由等比数列求和公式得 Sn x x 2 x3 xn （利用常用公式） ＝ x(1 n 1 (1 1 ) ＝ 1－ 1 x ) ＝ 2 2n 1 x 1 1 2n 2 练一练： 等比数列 { an } 的前 n 项和 Sｎ＝ 2 ｎ－１，则 a12 a22 a32 an2 ＝ _____ ； 分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 . 例 2、 求数列的前 n 项和： 1 1, 1 4, 12 7, , 1n 1 3n 2 ， ? a a a 解 ：设 Sn (1 1) 1 4) ( 1 7) ( 1 3n 2) ( a 2 a n 1 a 将其每一项拆开再重新组合得 Sn 1 1 1 (1 4 7 3n 2) (1 a 2 a n 1 ) （分组） a 当 a＝1 时， Sn n (3n 1)n (3n 1) n （分组求和） 2 ＝ 2 1 1 (3n 1)n ＝ a a1 n (3n 1)n 当 a 1 时， Sn an 1 1 2 a 1 2 a ( 1)n (2 n 练一练： 求和： Sn 1 3 5 7 L 1) 倒序相加法 ：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关 联，则常可考虑选用倒序相加法， 发挥其共性的作用求和 （这也是等差数列前 n 和公式的推导方法） . 例 3、求 sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3 sin2 88 sin 2 89 的值 1 解 ：设 S sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3 sin 2 88 sin 2 89 ????. ① 将①式右边反序得 S sin 2 89 sin 2 88 sin 2 3 sin 2 2 sin 2 1 ???? ..② （反序） 又因为 sin x cos(90 ), sin 2 x cos2 x 1 x ① +②得 （反序相加） 2S (sin 2 1 cos 2 1 ) (sin 2 2 cos2 2 ) (sin 2 89 cos2 89 ) ＝89 S＝ 44.5 练 一 练 ： 已 知 f (x) x2 2 ， 则 f (1) f (2) f (3) f (4) f (1 ) f ( 1) f ( 1) ＝ 1 x 2 3 4 ______； 错位相减法 ：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构 成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前 n 和公式的推导方法） . 、 求和： Sn 1 3x 5x 2 7x 3 (2n 1) x n 1 ????????? ① 例 4 解 ：由题可知， { (2n 1) xn 1 } 的通项是等差数列 {2n －1} 的通项与等比数列 { xn 1 } 的通项之 积 设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4 ( 2n 1)x n ?????????. ② （设制错位） ①－②得 (1 x) Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4 2 xn 1 (2n 1) xn （错位相减 ） 再利用等比数列的求和公式得： (1 x) Sn 1 2x 1 x n 1 (2n 1)x n 1 x (2n 1)xn 1 (2n 1) xn (1 x) ∴ Sn (1 x) 2 例 5、求数列 2 , 4 , 6 , , 2n , 前 n 项的和 . 2 22 23 2n 解 ：由题可知， { 2n } 的通项是等差数列 {2n} 的通项与等比数列 { 1 } 的通项之积 2n 2n 设 Sn 2 4 6 2n 2 2 2 2 3 2 n ????????????? ① 1 2 4 6 2n Sn 2 3 4 2 n 1 ???????????? ② （设制错 2 2 2 2 位） 2 ①－②得 (1 1 ) Sn 2 2 2 2 2 2n （错位相 2 2 22 23 2 4 2n 2 n 1 减） 2 1 2n