《隐函数的导数》.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 隐函数的导数 第五节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、数学建模的实例 一、隐函数的导数 函数y=f(x)表示变量y与x之间的对应关系，这种对应关系的表示形式是多种多样的。 例如：从下图中可以看到，对每一个x通过这条曲线都能有唯一的y与之对应， 因此我们说这条曲线(或者方程x2+y3+siny=2)确定了一个函数y=f(x)， 称其为由该方程确定的隐函数. 则称方程 在区间 一、隐函数的导数 如果在一定条件下，对于某区间I上的任意一个值x， 一般地 通过方程 相应地总有满足这个方程的唯一的实数y 则称方程 在区间I上确定了一个隐函数. 存在， 相应的，诸如 等由自变量x的解析式表示的函数称作显函数． 隐函数 能化为显函数吗？ 由方程 不能解出y来，因此该隐函数不能显化. 隐函数显化 把一个隐函数化为显函数，就称隐函数显化. 例如： 并不是任意一个隐函数都能显化的. 我们关心的是，若方程在某区间内确定了一个可导的隐函数，能否不对它进行显化而直接由方程求出它的导数呢？ 例1 求方程 确定的隐函数 在 点的导数． 解 用 替换 中的 y，得 方程两边同时对 求导数，得 解方程即可求得 解这个关于 的方程，得 即 注意到 y 是 x 的函数这一事实，我们可以不必像上边那样去作代换，而直接将方程两边同时对 x 求导数，有 由方程 可知，当 时， ，因此 这一步需要特别注意什么问题？ 你注意到隐函数导数的表示式的特点了吗？ 求隐函数在某一点处的导数时应特别注意什么？ 总结一下求隐函数的一阶导数可分哪几步？ 例2 求方程 所确定的隐函数 的导数． 整理得 解 方程两边同时对 求导数，利用复合函数的求导法则（注意，这里 是 的函数），得 于是有 1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数, 因此对y的函数求导时要用复合函数求导法则). 2. 解方程，求出y’ (注意y’表达式中即含有x，也含有 y). 例3 求椭圆 上点 处的切线方程． 解 由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为该方程所确定的隐函数在点 处的导数. 解得 原方程两边分别对 x 求导，得 因此，所求切线斜率 从而，所求的切线方程为 讨论：要求切线方程，关键要找到什么？ 下面又应怎么办？ 解 由隐函数的求导法，得 于是 例4 求由方程 所确定的隐函数的二阶导数 . 上式两边再对 求导，得 将上边求得 的结果代入，得 下面应怎么办？ ？ ？ 您看求隐函数的二阶导数的步骤可分几步？其中需要特别注意什么？ 1. 方程左右两边对x求导(注意y是x的函数). 2. 解方程，求出y’的表达式. 3. y’的表达式(或求导后方程)左右再对x求导(注意y和y’都是x的函数). 4. 将y’代入到上面求出的y’’中(注意y’’表达式中即含有x，也含有 y). 于是 解 将方程的两边取对数，得 例5 求 的导数. 上式两边对 求导，注意到 是 的函数 ，得 隐函数！ 讨论: 这是一个幂指函数, 既不能按照幂函数求导, 也不能按照指数函数求导. 你想怎么解决这个矛盾？ 对数 求导法 若方程左右两边同时取对数, 能解决问题吗？ 由这个方程能说 y是 x 的函数吗？ 于是 例6 求 的导数. 解 将方程的两边取对数（假定 ），得 上式两边对 求导，注意到 是 的函数 ，得 于是 讨论: 这个题目复杂吗？原因是什么？如果能“积化和差”好求导吗？怎么能“积化和差”