(完整版)无穷小量与无穷大量.docVIP

兰州外语职业学院教案专用纸 专业： 科目：《经济数学基础》 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 第三节 无穷小量与无穷大量 教学目标： 1.了解无穷小量和无穷大量的概念 2.理解无穷小量的性质 教学重点： 无穷小量、无穷大量的概念 教学难点： 无穷小量的性质 教学课时： 2 学时 教学方法： 讲授法 教学过程： 1.3.1 无穷小量 定义 1.12 ：如果函数 f ( x) 当 x 0 x ) 时的极限为零 那么 x ( 或 称函数 f ( x) 为当 x x0( 或 x ) 时的无穷小 特别地 以零为极限的数列 { xn} 称为 n 时的无穷小 例如 因为 lim 1 0 所以函数 1 为当 x 时的无穷小 x x x 因为 lim (x 1) 0 x 1  所以函数为 x 1 当 x 1 时的无穷小 因为 lim 1 0 所以数列 { 1 1 } 为当 n 时的无穷小 n n 1 n 讨论 很小很小的数是否是无穷小？ 0 是否为无穷小？ 提示 无穷小是这样的函数 在 x x0( 或 x ) 的过程中 极限为 零 很小很小的数只要它不是零 作为常数函数在自变量的任何变化 过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零 说明： 1. 无穷小量对函数中对 x x x x x0 x x0 x x0 都适用 无穷小量的定义对数列也适用 23 兰州外语职业学院教案专用纸 专业： 科目：《经济数学基础》 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 无穷小量是以 0 为极限的 变量，不能把很小的常数看做无穷小量。（ 0 是唯一可以作为无穷小量的常数） 无穷小量是对某一个变化过程而言的 无穷小是以绝对值而言的 无穷小与函数极限的关系 定理 1 在自变量的同一变化过程 x x0 或 x ) 中 函数 f ( x ) ( 具有极限 A 的充分必要条件是 f ( x) A 其中 是无穷小 证明： 设 lim f (x) A0 0 使当 0 |x x0| 时 有 x x0 |f(x) A| 令 f(x) A 则 是 x x0 时的无穷小 且 f(x) A 这就证明了 f(x)等于它的极限 A 与一个无穷小 之和 反之 设 f(x) A 其中 A 是常数 是 x x0 时的无穷小 于是 |f(x) A| | | 因 是 x x0 时的无穷小 00 使当 0 0 有 |x x | | | 或|f(x) A| 这就证明了 A 是 f(x) 当 x x0 时的极限 简要证明 令 f(x) A 则|f(x) A| | | 如果 0 0 使当 0 |x x0| 有 f(x) A| 就有| | 反之如果 0 0 使当 0 |x x |有| | 就有 f(x) A| 0 这就证明了如果 A 是 f(x) 当 x x0 时的极限 则 是 x x0 时的 无穷小 如果 是 x x0 时的无穷小 则 A 是 f(x) 当 x x0 时的极限 类似地可证明 x 时的情形 24 兰州外语职业学院教案专用纸 专业： 科目：《经济数学基础》 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 1.3.2 无穷大量 定义： 1.13 如果在 x 的某一变化过程中， 1 是无穷小量， y f ( x) 则在该变化过程中， f ( x) 为无穷大量，简称无穷大，记作：lim f ( x) 如果在 x 的某一变化过程中，对应的函数值的绝对值 | f ( x)| 无限 增大（函数） 就称函数 f ( x) 为当 x x0( 或 x ) 时的无穷大 记为 lim f (x) ( 或 lim f (x) ) x x0 x 应注意的问题 当 x x0( 或 x ) 时为无穷大的函数 f ( x) 按函 数极限定义来说 极限是不存在的 但为了便于叙述函数的这一性态我们也说“函数的极限是无穷大” 并记作 lim f (x) ( 或 lim f (x) ) x x0 x 讨论 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大 ? 提 示 lim f (x) M 0 0 当 0 | x x0 | 时 有 x x0 | f ( x)| M 正无穷大与负无穷大 lim f ( x) lim f (x) x x0 x x0 ( x ) (x ) 例 2 证明 lim 1 x 1 x 1 证因为 M0  1  当 0 | x 1| 时 有 M 1 | | M 1 所以 lim x 1 x 1 提示 1 1 1 要使 | | M 只要 | x 1| x 1 |x 1| M 25 兰州外语职业学院教案专用纸 专业： 科目：《经济数学基础》 第 周第 学时教案 授课教师：贾其鑫 铅直渐近线 如果 lim f