2020年新版双曲线(答案).docxVIP

双曲线 一、 教学目标： 1、 掌握双曲线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求双曲线方程，掌握双曲 线的几何性质，了解双曲线的初步应用。 2、 了解双曲线的参数方程，能根据方程讨论双曲线的性质，掌握直线与双曲线位置关系 的判断方法，能够正确熟练地解决直线和双曲线的位置关系的一些问题。 二、 知识要点分析： （一） 双曲线的定义 双曲线的定义：平面内与两定点 Fi, F2距离的差的绝对值等于定长 2a（小于片芾2|） 的点的轨迹叫双曲线，即||PF11- |PF2 ||= 2a （2a |F1F2|）O 此定义中，绝对值”与 2a |F1f2 |,不可忽视。若2a= |F1F2|,则轨迹是以F1 , F2 为端点的两条射线，若 2a |F1f2 |,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示 双曲线的一支。 （二） 双曲线的标准方程及几何性质 1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的双曲线方程 中心在原点，焦点在 x轴上 中心在原点，焦点在 y轴上 标准方程 2 2 务書 1(a 0,b 0) a b 2 2 ■y?合 1(a 0,b 0) a b 图形 J y 顶点 A( a,0), A(a,0) B1 (0, a),B2(0,a) 对称轴 x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2a 焦 占 八、 八、、 F1( c,0),F2(c,0) F1 (0, c),F2(0,c) 焦距 | F1F21 2c(c 0) c2 a2 b2 离心率 c e —（e 1）（离心率越大，开口越大） a 准线 2 a x c 2 a y c 渐近线 b y - x a a y - x b 焦准距 2 .2 a b p c — c c 2、判断椭圆方程中焦点位置的不同， 是通过比较x2, y2系数的大小，而双曲线是看x2 , y2的系数的正负号，焦点在系数为正的坐标轴上，简称为“焦点在轴看正号” 0) 0). 3、共轭双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线。 2x~2a2y(1) 2 x ~2 a 2 y (1) (2) (3) 2 2 =1与 爲 笃=1互为共轭双曲线，其性质如下： b a 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线。 双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距。 2 2 一 x y 与r 2 = 1具有相同渐近线的双曲线系方程为 a b 2 x ~2 a 4、如果双曲线的渐近线为 x y 0时，它的双曲线方程可设为 a b 2 - k b2 —k 2 2 x y a2 b2 (k工0 5、等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x，离 心率e 2。 6、弦长公式： (1)过焦点的弦长：|AB| = e (d1 + d2 ), (2) 一般的弦长公式：类似于椭 圆，x, , x2分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在的直线方程为 y = kx + b，代入双曲线方程 整理得Ax 2 + Bx + C = 0,则PQ = ,1 k2 x, x2|，若y, , y2分别为弦PQ的纵坐标，则 PQ =屮討y2。 三、例题 例1.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程: (l)Sfet两点(27, 3), (-7, -6姻； ⑵双曲线过点⑶ 沐②，离心率已二斗V 双曲线C的右焦点为(2, 0),右顶点为(J3,0) 与双曲线x2 — 2y2= 2有共同的渐近线，且经过点(2,- 2) 过点P (2,— 1),渐近线方程是 y=^3x. 解：(1 )设双曲线方程为 mx2+ ny2= 1, ① 由过两点曲,学(6 -母得 解得L楮代入O得所求双曲线方程为気可=1 ,io ,io e io (刁由亡=y(得了 tfta2 =9kr Jllc3 =10ks b3 = c2 -a2 =k 于是，设所求双曲线方程为 2 x 2 L 1① 2 或生 2 —1② 9k k 9k k 把(3,9、2)代入①，得k 161 与k0矛盾， 无解；把 (3,9、2)代入②，得 k=9，故所 2 2 求双曲线方程为y X 1。 81 9 说明：本例解法是待定系数法 : (1 )中设法叫 统设”, 由此可知，统设方程 mx2+ ny2 =1可以代表椭圆、双曲线这两种标准方程； (2)中设法叫“分设”，因由离心率的条件不 9 9 TOC \o 1-5 \h \z 能区分实轴在x轴上还是在y轴上，故分别设出两种方程 . 2 2 设双曲线方程为笃占 1 (a 0, b 0). a b 由已知得a .3,c 2,再由a2 b2 c2,得b2 1. 2 故双曲线C的方程为—y2 1. 3 设所求双曲线方程为 x2— 2y2= k, ① 由于双曲线过点(2,— 2),将(2, — 2)