“秒杀”一类含双绝对值数的最值问题.docxVIP

秒杀一类含双绝对值数的最值问题 形如?f?(?x)??|?ax???b?|???|?cx???d?|?最值问题是高考热点，利用本文技巧可以快速解决。注：本文中?x?系数?a???0,?c???0?， 如果解题中遇到?a???0或c???0?，可转化为?x?系数为正的函数再解，如 f?(?x)??|??2x???2?|???|???x???1|???f?(?x)??|?2?x???2?|???|?x???1|?. （一）【探究】函数?f?(?x)??|?2?x???2?|???|?x???1|?的图象如图，该函数在?x???1?处取得最小值，?x???1?为图象的一个转折点，满 足?2x???2???0?.?f?(?x)min???f?(1)??|?2???2?|???|1???1|??2 g?(?x) 【结论】形如?f?(?x)??|?ax???b?|???|?cx???d?|?的函数只有最小值，无最大值，求最小值的步骤为： a?与?c?大小不相等时，找出?a?与?c?中较大的那一个绝对值，并令该绝对值内部为?0，解得?x?的值 把解得的?x?值代入函数解析式即得最值 ◆?例?1?函数?y??|?6x???6?|???|?2x???4?|?的最小值为????. 【秒解】?y??|?6x???6?|???|?2x???4?|?中，?x?系数?6?大于?5，则?f?(?x)?min?在?6x???6???0?即?x???1?时取得，?f?(?x)min???f?(1)???2?. ◆?例?2?函数?y?????|??2?x???1|???|?x???3?|?的最大值为????. 【秒解】?y?????|??2?x???1|???|?x???3?|????(|?2?x???1|???|?x???3?|)?，而?g?(?x)??|?2x???1|???|?x???3?|?的最小值 1?????????????????7??????????????????????7 )??|?2x???1|??? )??|?2x???1|???|?x???3?|???2?，所以?ymax?????g?(?x)min??? ◆?例?3?（2014?安徽理?9）若函数?f?(?x)???x???1???2?x???a?的最小值为?3，则实数?a?的值为（???） A．5?或?8?????B．??1?或?5????C．??1?或??4?????D．??4?或?8 2【秒解】?f?(?x)??|?x???1|???|?2?x???a?|?中，?x?系数?2?大于?1，则?f?(?x)?min?在?2x???a???0?即?x?????a 2  时取得， f?(?x) a????a )??|???2min??f?(??2???????1|??0???3???a???? )??|???2 ◆?例?4?函数?f?(?x)??|?2?x???1|???|?2?x?1???4?|?的最小值为 . 【秒解】?f?(?x)??|?2?x???1|???|?2?x?1???4?|?中，令?t???2?x?，则?y??|?t???1|???|?2t???4?|?，?t?系数?2?大于?1，则?ymin?在?2t???4???0?即 t???2?时取得，?ymin???yt??2??|?2???1|??0???1?. （二）【探究】函数?f?(?x)??|?x???1|???|?x???2?|?的图象如图，该函数在[?2,?1]?处取得最小值，区间端点为图象转折点， 分别满足?x???2???0,?x???1???0???x????2,?x????1?,则?f?(?x)min???f?(?1)???f?(?2)???1 【结论】形如?f?(?x)??|?ax???b?|???|?cx???d?|?的函数只有最小值，无最大值，求最小值的步骤为： （1）?a?与?c?大小相等时，则令任一个绝对值内部为?0，均可得函数的最小值 （2）把解得的?x?值代入函数解析式即得最值 ◆?例?1?函数?y??|?2x???1|???|?2x???4?|?的最小值为 . 【秒解】?y??|?2x???1|???|?2x???4?|?中，两?x?系数相等，?2x???1???0,2x???4???0???x?????1?,?x???2?则 2 f?(?x)  min 1 ??f?(??)???f?(2)???5?. 2 （三）【结论】形如?f?(?x)??|?ax???b?|???|?cx???d?|?，若?a???c?，令?x??????可知?f?(?x)?有最小值，无最大值，求最小值 的步骤为： b （1）令?ax???b???0?，得?x???? a b （2）?f?(?x) min?