变分原理-第5章.pdfVIP

第五章 有限元基础的变分原理 §5-1 引言 在弹性理论中，对于一个连续体的问题，通常是用微分方程列出它的数 学公式，把它的物理量 （如位移、应变、应力等）设想成空间坐标xi (i 1,2,3)的 连续函数，而将连续体看成是无限小的许多家想元素的一种集合体。 在另一方面，也可以把连续体划分成许多有限的假想元素（通常称为“有 限单元”），而将连续体看成是这些单元的一种集合体，来推导有限单元的公 式。这时，用在每一个单元内光滑、但在整个物体内连续二不光滑的近似函 数，来代替物理量的连续函数。这些近似函数使用一些未知参数（例如节点 处这些量的值）和插值函数而构成的，按这种方法，一旦定出了这些未知参 数的值，就可以确定每个单元中这些量的分布了。这样，就用控制这些参数 的许多代数方程代替了原来的微分方程。所以，下一个问题就是怎样求得这 些未知数的控制方程。早就充分肯定，变分原理为推导关于这些未知数的控 制方程提供了一个有效而系统的工具。 §5-2 位移协调元的变分原理 首先讨论最常用的以位移为变量、从最小位能原理导出的位移协调元的 变分原理。 最小位能原理的泛函为 Π [A(e) −F u ]dv − p u ds （5-1 ） ∫∫∫ i i ∫∫ i i V s p 其中，e 为u 的函数，而且有 ij i 1 e (u ′ +u ′ ) ij 2 ij j i 位移边界条件为变分约束条件，物理方程或应力应变关系为非变分约束条件。 把求解域V 分割为N 个有限元，并设相邻有限元之间的交界面上位移u 是 i 连续的，这种有限元成为位移协调元。位移协调元要求单元位移函数满足下 列条件： （1） 在每个单元中是连续的和单值的； （2 ） 在单元的交界面上是协调的，即 ′ ′ u (m) u (m ) （在S (mm ) 上） i i （3 ） 凡含有s 的单元，都要满足位移边界条件 u ui ui （在su 上） 如果位移函数选择的满足上列三条要求，则最小位能原理的泛函可以改写成： N Π∗ ∑[ (A (m) (e) −F u (m) )dv − p u (m) ds] （5-2 ）