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复旦大学2018年自主招生试题 设，求函数的最小值. 设，求的区间长度. 求能放入一个半径为的球体的圆锥体积最小值. 极坐标系中，曲线上一点与曲线上一点的距离最大值是多少？ 中，为上一点，则是为中线的什么条件？ 求最小正整数，使得为完全平方数. 1900年，数学家_______在巴黎国际数学家大会上提出了个未解决的问题. 记正方体的六个面中心为 先在这6个点中任取两点连线，再在这6个点中任取两点连线，则两条线段平行但不重合的概率是多少？ 直线分别过定点，若两直线交于点，求的取值范围. 在单位正方体中，分别为棱的中点，P为平面上一点，并满足平行平面，求长度的取值范围. 已知在中，，，，求的面积. 在中， ，设直线CD和AE交于点P，若 求. 令 ，下列结论正确的是_______. 是周期函数；（2）有对称轴；（3）关于对称；（4） 若函数满足，求. 已知，直线与线段AB有公共点，求的最小值. 设方程的两个根为a和b，求a+b的值. 已知方程有两个实根，则其余两根为______. 相同的实根 B.不同的实根 C.共轭复根 D.以上都不对 定义，解方程. 已知，设 若，且，试比较和的大小. 已知有二重根，求的值. 在1，2，3 ，10中等概率的取出两个数，使得 是抛物线的概率为_______. 已知正数，则是的_______条件. 设是平面上不同的点，则是为的重心的______条件. 2018年复旦大学自主招生试题解析 【答案】 【考点】求函数最小值问题. 【解析】， 令，则. 当时，函数的最小值为 【答案】5 【考点】函数定义域的应用. 【解析】，所以的区间长度为5. 【答案】 【考点】立体几何问题. 【解析】如图所示，设圆锥的底面半径为，圆锥的顶点到球体的球心距离为m，所以 所以， 即，则 【答案】 【考点】圆的参数方程的问题. 【解析】，则两个动点的距离最大值为圆心距 加两个半径，即为 【答案】必要不充分条件 【考点】三角函数问题和余弦定理的应用. 【解析】中，由余弦定理 在中，由余弦定理 由，所以 ， 考虑到，所以 ， 此时不一定等于，此时AD不一定为中线，而当时， 所以是AD为中线的必要不充分条件. 【答案】21 【考点】初等数论问题. 【解析】 又因为是正整数，所以 【答案】希尔伯特. 【考点】数学史问题. 【解析】希尔伯特. 【答案】 【考点】立体几何问题. 【解析】已知这个六面体是两个正四棱锥结合在一起，中间正方形的平行有两对，上下两个正四棱锥 侧棱平行有四对，则所求概率为 【答案】 【考点】直线和三角函数问题. 【解析】直线 所以，而满足 令 则 ， 所以 【答案】 【考点】立体几何问题. 【解析】取BF中点，连接EK，GK与EG，则平面EKG平行于平面NBM， 所以点P在线段KG上运动，在中， 则 所以 【答案】1 【考点】解三角形问题. 【解析】 【答案】 【考点】平面向量问题. 【解析】过点D作DF平行于BC交AE于点F，所以，则 所以 ，所以， 而，则 所以， 【答案】（1）（2）（4） 【考点】三角函性质的应用. 【解析】显然（1）对; 是偶函数，（2）对； （3）由，（3）错； （4）由数学归纳法可以证明，所以（4）正确. 答案（1）（2）（4）. 【答案】 【考点】赋值法的应用. 【解析】赋值法. 令 令 解得 【答案】 【考点】直线与距离的应用. 【解析】将直线看成关于变量的直线， 则表示直线上一点到原点距离的平方， 则，又，则 【答案】 【考点】对数方程问题和换元法的应用. 【解析】记，则， 所以 【答案】C 【考点】方程复数根的问题. 【解析】则 ， 所以另外两个复根为，答案C. 【答案】 【考点】对数方程的问题. 【解析】记，则方程即 【答案】. 【考点】指数函数问题. 【解析】记，则 因为，且，所以， 另一方面， 所以. 【答案】1440 【考点】方程根的问题. 【解析】方程有二重根， 所以 【答案】 【考点】解析几何和概率问题. 【解析】①当时，此时有9个； ②当时 但是与①中重复出现， 所以此时只有2个，则所求概率 【答案】既不必要也不充分条件 【考点】逻辑关系问题. 【解析】既不必要也不充分条件. 考虑到和情形. 【答案】充要条件 【考点】逻辑关系问题. 【解析】充要条件，平面奔驰定理直接推论. 本文档由华夏园教育提供