足球门的危险区域问题.docVIP

PAGE PAGE 3 足球门的危险区域问题 一、问题的提出 在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门的威胁是不一样的在球门的正前方威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。已知标准球场长为104m，宽为69m；球门高为2.44m宽为7.32m。 实际中球员的基本素质可能有一定的差异，但对于职业球员来讲一般认为这种差异不大。另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10m/s左右。请你结合球场和足球赛的实际情况建模分析，并研究下列问题； （1）针对球员在不同位置的射门的威胁度进行研究，并绘制出球门的危险区域； （2）在有一名守门员的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步的研究。 二、问题分析 根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进的区域。球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件。无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。影响球员射门命中率的因素有很多，其中最重要的两点是球员基本素质（技术水平）和射门时的位置。对每一个球员来说，基本素质在短期内是不可改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。 某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率，事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。稍作分析容易断定，该分布应当是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。 球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可以得到这次射门命中球概率。然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点选择有很强的依赖性。这样，我们遍历球门区域的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。 三、模型的假设与符号的说明 1．模型的假设 （1）在理想状态下，认为球员是同质的，即基本素质相同，或差别不大； （2）不考虑球员射门后空气、地面对球速的影响，设球速为10m/s； （3）球员射门只在前半场进行，为此假设前半场为有效射门区域； （4）只考虑标准球场：和球门： 2．符号说明 表示半场上的一个球门所在平面，是在平上的半平面；表示球门内点在平面上所表示的区域，即；表示球场上的点，为其坐标；表示球门内的点，为其坐标；表示从球场上A点对准球门内B点射门时，命中的概率；表示球场上点对球门的威胁度；表示球员的基本素质，是一个相对指标；表示球场上A点到球门内B点的直线距离；表示直线AB在地面上的投影线与球门平面的夹角（锐角） 四、模型的建立与求解 首先建立如图1 所示的空间直角坐标系，即以球门的底边中点位置为原点O，地面为面，球门所在的平面为面 B B O 图1 球门示意图 问题（1） 根据前面对问题的分析，在此假设基本素质为的球员从点向距离为的球门内目标点射门时，球在目标平面上的落点呈现二维正态分布。且随机变量是相互独立的，其密度函数为 （1） 其中与球员素质成反比，与射门点和目标点之间的距离成正比，且偏角越大方差越小。当偏角时（即正对球门中心）方差仅与，有关。由此，我们可以确定的表达式为： 其中 注意到，在（1）式的密度函数中，关于变量是对称的，但实际中球只能落在地面以上，即只有，为了平衡这个密度函数，我们令 则两者的比值即为这次射门命中球门的概率 （2） 对命中球门的概率（2）在球门区域D内作积分，定义为球场上某点对球门的威胁度，即 综合以上分析，对于球场上任意一点关于球门的威胁度为 其中， 要求解该问题一般是比较困难的，只能采用数值积分的方法求解，首先确定反应球员基本素质的参数，具体的方法如下 根据一般职业球员的情况，我们认为一个球员在球门的正前方（）距离球门10m处（=10）向球门内的目标点劲射，标准差应该在1m以内，即取，由可以得到=10。于是，当球员的基本素质=10时，求解该模型可以得球场上任意点对球门的威胁度。部分特殊点的结果如表1， 根据各点的威胁度的值可以做出球场上等威胁度的曲线。如图2 表1 球场上离散点的威胁度情况 位置 (0,1) (0,5) (0,10) (0,20) (0,30) (0,50) (3,1) (3,5) (3,10) (3,20) 问题1 14.4596 14.3551 12.6891 8.6371 5.7115 2.8121 11.5649 13.480