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第一篇 数理逻辑 数理逻辑是应用数学方法引进一套符号系统来研究思维的形式结构和规律 的学科，它起源于公元十七世纪。十九世纪英国的德·摩根和乔治·布尔发展 了逻辑代数，二十世纪三十年代数理逻辑进入了成熟时期，基本内容（命题逻 辑和谓词逻辑）有了明确的理论基础，成为数学的一个重要分支，同时也是电 子元件设计和性质分析的工具。冯·诺意曼，图灵，克林，… 等人研究了逻辑 与计算的关系。基于理论研究和实践，随着 1946 年第一台通用电子数字计算机 的诞生和近代科学的发展，计算技术中提出了大量的逻辑问题，逻辑程序设计 语言的研制，更促进了数理逻辑的发展。除古典二值（真，假）逻辑外，还研 究了多值逻辑、模态逻辑、概率逻辑、模糊逻辑、非单调逻辑等。不仅有演绎 逻辑，也还有归纳逻辑。计算机科学中还专门研究计算逻辑、程序逻辑、时序 逻辑等。现代数理逻辑分为四论：证明论，递归论（它们与形式语言语法有 关），模型论，公理化集合论（它们与形式语言的语义有关）。 第 1-1 章 命题逻辑 学习要求 : 掌握命题，命题公式，重言式，等价式，蕴涵式等基本概 念，能利用逻辑联结词或真值表，等价式与蕴涵式进行命题演算和推理；学习 范式时与集合的范式进行对比。 表述客观世界的各种现象，表述人们的思想，表述各门学科的规则、理论 等，除使用自然语言（这常常是上有歧异性的）外，还要使用一些特定的术 语、符号、规律等“对象语言”，这些是所研究学科的一种特殊的形式化语 言，研究思维结构与规律的逻辑学也有其对象语言。本章就是讨论逻辑学中的 对象语言—命题及其演算，它相当于自然语言中的语句。 §1-1-1 命题 逻辑联结词与真值表 一、 命题的基本概念 首先我们从下面的例子加以分析。 例 1-1-1.1 人总是要死的。 例 1-1-1.2 苏格拉底是人。 1 例 1-1-1.3 苏格拉底是要死的。 例 1-1-1.4 中国人民是勤劳和勇敢的。 例 1-1-1.5 鸵鸟是鸟。 例 1-1-1.6 1 是质（素）数。 例 1-1-1.7 今天没有下雨。 例 1-1-1.8 公元二千年会出现生物计算机。 例 1-1-1.9 太阳系外的星球上有人。 例 1-1-1.10 他喜欢读书也喜欢运动。 例 1-1-1.11 他在机房里或者在图书馆里。 例 1-1-1.12 电灯不亮是灯泡或线路有毛病，或者是停电所致。 例 1-1-1.13 如果 a 和 b 都是正数，则 ab 也是正数。 例 1-1-1.14 xy 0 当且仅当 x 和 y 都大于零。 例 1-1-1.15 101+1=110。 例 1-1-1.16 天气多好啊？ 例 1-1-1.17 他来了吗？ 例 1-1-1.18 全体起立！ 例 1-1-1.19 帮帮我吧！ 例 1-1-1.20 x =0。 例 1-1-1.21 我正在说谎。 上 述 例 1-1-1.1 1-1-1.4 ，例 1-1-1.12 ～ 1-1-1.13 是 可 以 判 断 为 对 （真，成立）的陈述句，例 1-1-1.5 ，1-1-1.6 ，1-1-1.14 是能够判断为不对 （假，不成立）的陈述句，例 1-1-1.7 ～ 1-1-1.9 在人类历史发展的长河中能够 判断它是真或是假的陈述句，例 1-1-1.10 ～ 1-1-1.11 根据“他”当时的情况能 够判断出是真或是假的陈述句，例 1-1-1.15 在二进制计算中为真，在十进制计 算中为假，也还是可以判断为真或为假的陈述句，例 1-1-1.16 是感叹句，例 1-1-1.17 是疑问句，例