幂函数及其性质教案.docVIP

幂函数及其性质专题 一、幂函数的定义 一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.如等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 【思考】幂函数与指数函数有何不同？ 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置． 【例】1.下列函数：①；②；③；④，其中幂函数的个数为（ ） 2.若函数是幂函数，则实数k的值是（ ） 3.已知点在幂函数f(x)的图像上，则f(x)的表达式是？ 4.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为？ 二、函数的图像和性质 （1） （2） （3） （4） （5） 用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出： 定义域 奇偶性 单调性 定点（公共点） 【例】已知幂函数f(x)的图像过点，幂函数g（x）的图像过点，（1）求f(x)，g（x）的解析式；（2）当x为何值时：①f(x)g（x）；②f(x)=g（x）；③f(x)g（x） 【变式】若点改为，探求f(x)与g（x）中较小的一个的单调性及奇偶性。 【规律小结】　(1)求幂函数解析式的步骤为以下几点：①设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)； ②根据已知条件求出α的值(待定系数法)； ③定出幂函数的解析式． (2)作直线x＝t，t∈(1，＋∞)与幂函数的各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的． 【幂函数性质】 （1）单调性：①所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； ②时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数 ③时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. （2）奇偶性:幂函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断。 【例】已知莫函数的图像关于y轴对称，且在上是减函数，求满足的a的范围。 【变式】例题题干不变，（1）求函数f（x）； （2）讨论的奇偶性 【归纳小结】解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围． 三．两类基本函数的归纳比较： ① 定义 对数函数的定义：一般地，我们把函数（＞0且≠1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 幂函数的定义：一般地，形如（R）的函数称为幂孙函数，其中是自变量，是常数. ②性质 对数函数的性质：定义域：（0，+∞）；值域：R； 过点（1，0），即当=1，=0； 在（0，+∞）上是增函数；在（0，+∞）是上减函数 幂函数的性质：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，图象都过点（1，1）时，幂函数的图象都通过原点；在[0，+∞]上，、、、是增函数；在（0，+∞）上， 是减函数。 【例题选讲】 例1．已知函数，当 为何值时，： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数； 【变式训练】已知函数，当 为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线。 小结与拓展：要牢记幂函数的定义，列出等式或不等式求解。 例2．比较大小： （1） （2）（3）（4） 例3．已知幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，且关于原点对称，求的值． 例4、设函数f（x）＝x3， 　　（1）求它的反函数； 　　（2）分别求出f－1（x）＝f（x），f－1（x）＞f（x），f－1（x）＜f（x）的实数x的范围． 点评：本题在确定x的范围时，采用了数形结合的方法，若采用解不等式或方程则较为麻烦． 例5、求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域． 　　点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法． 【同步练习】 1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 2. 下列函数在上为减函数的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 3. 下列幂函数中定义域为的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 4．函数y＝（x2－2x）的定义域是（　　） 　A．{x|x≠0或x≠2}　　B．（－∞，0）（2，＋∞） C．（－∞，0）］［2，＋∞］　D．（0，2） 5．函数y＝（1－x2）的值域是（　　） 　　　A．［0，＋∞］　　　B．（0，1） C．（0，1）　　　　 D．［0，1］ 6．函数y＝的单调递减区间为（　　） 　　A．（－∞，1）　　　　B．（－∞，0） C．［0，＋∞］ 　　 D．（－∞，＋∞） 7．若a＜a，则a的取值范围是（　　） 　A．a≥1　　　　　B