考研连续性间断点.pptVIP

三、品嶽的连续性问题 HIGH EDUCATION PRESS 动日录上页下页返回  1、函数连续性的定义 定义:设函数y=f(x)在x的某邻域内有定义,且 if(x)=f(x0),则称函数f(x)在x0连续 可见,函数f(x)在点x连续必须具备下列条件: 1)f(x)在点A有定义,即f(xo)存在 (2)极限1imf(x)存在 ) (3) lim f(x)=f(xo) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回  若f(x)在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上 连续,或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如,P(x)=a0+ahx+…+anx(有理整函数) 在(-∞,+∞)上连续 又如,有理分式函数R(x)=(x) Q(r) 在其定义域内连续. 只要Q(x)≠0,都有imR(x)=R(xo) x-x0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回  对自变量的增量Ax=x-x,有函数的增量 y=f(r)-f(xo)=f(xo+ Ar)-f( 函数f(x)在点x0连续有下列等价命题: lim f(x)=f(xo) limf(xo+△x)=f(xo) x→0 ←lim△y=0 f(x0)=f(x)=f(x) 左连线续右连续。xx E0,3δ0,当x-x δ时,有 f(x)-f(x)=△y|6 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回  2、函数的间断点 设f(x)在点x的某去心邻域内有定义,则下列情形 一函数f(x)在点和不连续 (1)函数(x)在x0无定义 (2)函数f(x)在x0虽有定义,但imf(x)不存在 3)函数f(x)在和虽有定义,且imf(x)存在,但 inf(x)≠f(xO) 这样的点x称为间断点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回  间断点分类: 第一类间断点: f(x)及f(x)均存在 若f(x)=f(和),称x为可去间断点 若了(x)≠f(x0),称x0为跳跃间断点 第二类间断点: J(x0)及f(x0)中至少一个不存在, 若其中有一个为∞O,称x。为无穷间断点 若其中有一个为振荡,称x为振荡间断点 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回  y=tanx y tan r x=z为其无穷间断点 y=sifl x=0为其振荡间断点 X x=1为可去间断点 HIGH EDUCATION PRESS 上页下页返园  (4)y=f(x)= 显然imf(x)=1≠f(1) 1为其可去间断点 x-1,x0 (5)y=f(x)={0 x+1,x0 f(0)=-1,f(0) x=0为其跳跃间断点 HIGH EDUCATION PRESS 动日录上页下页返回  (6)确定函数f(x)= 间断点的类型 解:间断点x=0,x=1 limf(x)=∞,x=0为无穷间断点 x→0 当x→1时, →+∞0,…∴f(x)→0 当x→1时, f(x)→1 故x=1为跳跃间断点 在x≠0,1处,f(x)连续 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回  3、连续函数的运算法则 定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积, 商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数 (利用极限的四则运算法则证明) 例如,sinx,coSx连续 →tanx.cotx在其定义域内连续 定理2.连续单调递増(递减)函数的反函数也连续单调 递增(递减).(证明略) 例如,y=sinx在[一2,l上连续单调递增, 其反函数y= arcsin x在[-1,门上也连续单调递增. fHIGH EDUCATION PRESS