1.3导数在研究函数中的应用第1课时 精品教案.docVIP

1.3 导数在研究函数中的应用 【课题】：1.3.1函数的单调性与导数(特色班) 【教学目标】： （1）知识与技能：正确理解利用导数研究函数的单调性的原理；理解并掌握用导数判断函数的单调区间及增减性的方法；会利用导数与函数单调性的关系求不超过三次的多项式函数的单调区间，并能用以上知识解决一些实际问题． （2）过程与方法：在解决问题中，通过结合导函数研究原函数图象增减性的关系，加深对导函数几何意义的理解； （3）情感态度与价值观：依据导数在某区间的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性。 【教学重点】： 利用导数判断函数单调性的方法,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。 【教学难点】： 利用导数研究函数的单调性； 导函数图象与函数单调性的关系． 【课前准备】：Powerpoint 【教学过程设计】： 教学环节 教学设计 教学意图 一、创设情景，观察引入 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的． 学习导数的重要性 abthO右图表示跳水运动中高度随时间变化的函数 a b t h O 运动员从起到入水这段时间的 运动状态有什么特点？ 其导函数的变化情况如何？ 学生观察动画演示，感受函数增减性与函数图象过某点的切线斜率的关系。 由导数的几何意义，你能把h（t）的大概图象画出来吗？ 学生活动 学生观察得出： 动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,其导函数 abthO从最高点到入水,运动员离水面的高度 a b t h O a a b t v O 描述并总结 2．函数的单调性与导数的关系 引导学生从函数图象中各点的切线斜率的变化情况入手发现切线斜率与 的关系。 解：各函数的图象大概如下： 感受函数图象与其导函数图象的关系 二、定义 定义：函数的单调性与导数的关系 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减． 说明：特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数． 用导函数判断函数单调性 xyO如图，导数表示函数在 x y O 点处的切线的斜率． 在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增； 在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减． 更直观感受和总结 三、例题与练习 例1．已知导函数的下列信息： 当时，； 当，或时，； 当，或时， 试画出函数图像的大致形状． 结合例题更好理解导函数的作用 解：当时，，可知在此区间内单调递增； 当，或时，；可知在此区间内单调递减； 当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数图像的大致形状如图所示． x x y O 1 4 生练习，并上黑板板示 例2．判断下列函数的单调性，并求单调区间． （1）； （2） （3）； （4） 从理论知识的认识到用知识 解：（1）因为，所以， 因此，在R上单调递增， 规范解题过程 （2）因为，所以， 当，即时，函数单调递增 当，即时，函数单调递减 （3）因为，所以， 因此，函数的递减区间为， 注：（3）、（4）学生练 （4）因为，所以 ． 当，即 时，函数 ； 当，即 时，函数 ； 总结．求解函数单调区间的步骤： （1）确定函数的定义域； （2）求导数； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间． 总结知识，加深理解 练习: 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 学生练习 例3：如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像． (A) (A) h t O (B) h t O (C) h t O (D) h t O 把知识用到实际问题中去 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． yxO y x O y x O y x O y x O A． B． C． D． 四、练习 练习：设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像