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(世代福品票 第四章蔓环里的因子分解 §4.1-§4.3 目的与要求: ◆掌握整除,单位,相伴元,平凡因子,真因子,素元 唯一分解的概念及性质 ◆掌握唯一分解环的概念及等价定义,了解公因子 最大公因子的概念与最大公因子的存在性 ◆掌握主理想环的概念和性质,以及主理想环与 唯一分解环的关系 (世代福品票 §4.1素元唯一分解 ★单位 定义4.1.1整环中的可逆元E称的一个单位 注:单位和单位元是两个不同的概念,单位元一定 是一个单位,而单位未必是单位 ★茎除 定义4.12称整环的一个元a可以被的元b整除,假如 在找得出元c,使得a=bc.假如a能被b整除,我们 说b是a的因子,并且用符号ba来表示,否则用ba 来表示 (世代福品票 ★相伴元 定义4.13元b叫做元a相伴元,假如b=a,其中e是的一 个单位 ★平凡因子;真因子 定义414单位以及元a的相伴元叫做a的平凡因子,其 余的a的因子,叫做真因子 ★素元 定义4.1.5整环的一个元p叫做一个素元,假如p既不 是零元,也不是单位,并且p只有平凡因子 (世代福品票 定理4.1.1两个单位E和E的乘积E8是一个单位, 单位E的逆也是一个单位 定理4.1.2单位c同素元p的乘积也是一个素元 证明(1)8≠0,p≠0→EP≠0 (2)Ep不是单位,若不然,丑E∈1使得1=E(印)=(t)p →p是单位此与是素元矛盾 (3)Ep只有平凡因子 (世代福品票 定理4.1.3整环中一个不等于零的元a有真因子的充 分而且必要条件是:a=bc,b和c都不是单位元 证明(→)有真因子→3bE(使得b且b不是的相伴元 →彐c∈/使得a=bc 若c∈U(D),则a与b是相伴关系,故c∈U( ()假定a=b,b,cU(D)→b不是的相伴元,否则 b=Ea=6bc→EC=1→c∈U(1),矛盾 故a有真因了 推论假定a≠0,并且a有真因子b,a=bc,那么c也是a 的真因子