8.1傅立叶变换的概念.pptVIP

第八章 Fourier 变换 §8.2 单位冲激函数 §8.1 Fourier 变换的概念 §8.3 Fourier 变换的性质 Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够 简化运算 ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等等 )，又具有 非常特殊的物理意义。 §8.1 Fourier 变换的概念 的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。 因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要 展起来的。在微积分课程中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。 Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发 §8.1 Fourier 变换的概念 一、周期函数的 Fourier 级数 二、非周期函数的 Fourier 变换 一、周期函数的 Fourier 级数 为基本周期； 为频率。 A 称为振幅， 其中， 称为角频率， 称为相位， ( 称为零相位)。 (单位：秒) (单位：赫兹 Hz) 简谐波 1. 简谐波的基本概念 补 2. Fourier 级数的三角形式 一、周期函数的 Fourier 级数 区间 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)： (1) 连续或只有有限个第一类间断点； (2) 只有有限个极值点 . ( Dirichlet 定理)设 是以 T 为周期的实值函数，且在 定理 P184 定理 8.1 则在 的连续点处有 在 的间断处，上式左端为 称之为基频。 ( Dirichlet 定理) 定理 2. Fourier 级数的三角形式 其中, (A) 称 (A) 式为 Fourier 级数的三角形式。 定义 一、周期函数的 Fourier 级数 3. Fourier 级数的物理含义 令 则 (A) 式变为 O (A) 改写 一、周期函数的 Fourier 级数 P185 这是周期信号的一个非常重要的特点。 3. Fourier 级数的物理含义 频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。” 认为 “ 一个周期为 T 的周期信号 并不包含所有的 意义 这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 的倍数。 周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和， 表明 一、周期函数的 Fourier 级数 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。 3. Fourier 级数的物理含义 反映了频率为 的简谐波在信号 中 振幅 所占有的份额； 相位 反映了在信号 中频率为 的简谐波 沿时间轴移动的大小。 一、周期函数的 Fourier 级数 4. Fourier 级数的指数形式 代入 (A) 式并整理得 根据 Euler 公式 可得 推导 (A) 已知 一、周期函数的 Fourier 级数 P184 4. Fourier 级数的指数形式 推导 则有 令 其中, (B) 称 (B) 式为 Fourier 级数的指数形式。 定义 一、周期函数的 Fourier 级数 5. 离散频谱与频谱图 得 O 分析 由 即 的模与辐角正好是振幅和相位。 称 为频谱，记为 称 为振幅谱， 称 为相位谱； 定义 一、周期函数的 Fourier 级数 P185 5. 离散频谱与频谱图 将振幅 、相位 与频率 的关系画成图形。 频谱图 O O 一、周期函数的 Fourier 级数 借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个 信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对 信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。 但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函 数， 而在工程实际问题中， 大量遇到的是非周期函数， 那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢? 二、非周期函数的傅立叶变换 二、非周期函数的傅立叶变换 (1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。 1. 简单分析 离散频谱变成连续频谱；级数求和变成函数积分。 结论 当 T 越来越大时，取值间隔越来越小； 因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。 当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零， 即频谱将连续取值。 (2) 当 时，频率特性发生了什么变化？ 二、非周期函数的傅立叶变换 1. 简单分析 其频谱是以