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第三章 质点系动力学 中国石油大学 远程与继续教育学院 PAGE 30 第三章 质点系动力学 由两个或两个以上的质点组成的系统称为质点系。由于力是物体与物体之间的相互作用，所以动力学问题必定是质点系的问题。从研究方法的角度讲，质点动力学是把单个质点作为研究对象，逐个研究系统中的各个质点，从而研究系统中各质点的运动规律。质点系动力学是把整个系统作为研究对象，从而得到系统整体的运动规律，进一步得到个别质点的运动规律。根据具体问题的性质和要求，可以选择不同的系统，所以，质点系动力学更能清楚地反映自然规律。 §3-1 质心 质心运动定理 一、内力 外力 在一般情况下质点系中的每个质点既受外力作用, 也受内力作用。设由N 个质点组成的质点系，各质点的质量分别为，位置矢量分别为。如图3-1所示，系统内第i个质点受到第j个质点的作用力为，由牛顿第三定律知，第j个质点必定受到第i个质点的作用力为，即 图3-1这种系统内各质点之间的相互作用力称为内力。由于内力总是这样成对出现的，且每一对内力的矢量和为零，所以质点系内各质点之间相互作用力的矢量和为零 图3-1 （3-1） 系统内各质点受到系统外质点或物体的作用力称为外力。质点系内各质点所受的外力的矢量和称为质点系所受的合外力，即 （3-2） 二、质心 一人向空中抛一匀质薄三角板（3-1-1质心运动1），实际观测表明，板上有一点的运动轨迹为抛物线，而其它各点既随点作抛物线运动，又绕通过点的轴线作圆周运动。这时板的运动可看成是板的平动与整个板绕点转动这两种运动的合成。因此，我们可用点的运动来代表整个板的平动。点就是三角板的质心。就平动而言，板的全部质量似乎集中在质心这一点上。跳水运动员在空中的质心的运动轨迹也是抛物线（图3-2)，3-1-1质心运动2）。这两个例子说明质点系的质心是个重要的概念。图3-3图3-2 图3-3 图3-2 设由N 个质点组成的质点系，各质点的质量分别为，位置矢量分别为。该质点系质心的位矢定义为： （3-3a） 式中，为系统的总质量。（3-3）式说明，质心的位置矢量是质点系中各质点的位置矢量以其质量为权重的加权平均值，即质心是质点系的“质量中心”。 在直角坐标系中，质心位矢的分量形式表示为 （3-4a） 对质量连续分布的质点系，质心位矢为 (3-3b) 在直角坐标系中，质心位矢的分量形式表示为 (3-4b) （3-3a）式可写为 上式两边对时间t取一阶导数得 即 （3-5） 式（3-5）表明，如果把质心作为一个质点，其质量等于质点系的总质量（这个质点仍称为质心），则质心的动量等于质点系的总动量。即 （3-6） 可见，质心的质量等于质点系的总质量，质心的动量等于质点系的总动量，所以质心可以作为质点系的代表点。 在不同的参考系中，每个质点的动量以及质点系的总动量是不同的。设质点系中第i个质点在S系中的位置矢量为，在S′系中的位置矢量为，S′系在S系中的位置矢量为 。由相对运动的结论有 上式两边对时间t求导数得 即 （3-7） 若S′系就是质心参考系，则上式是 （3-8） 上式两边都乘以第i个质点的质量，得 上式对质点系中每个质点都适用，对质点系中每个质点对应的上式求和 考虑到式（3-5），所以 (3-9) 式(3-9) 表明，质点系相对质心参考系的总动量为零，或者说，质心参考系是质点系的零动量参考系，也称为动量中心系。 说明∶ = 1 \* GB3 ①几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。 = 2 \* GB3 ②有些物体的质心可能不在所求的物体上。 = 3 \* GB3 ③质心和重心是两个不同的概念。质心是物体质量的分布中心，而物体的重心是地球对物体各部分引力的合力(重力)的作用点。只有当地面附近的物体体积不太大时，物体内各处的重力加速度的大小相等，方向平行，物体的重心与质心的位置才是重合的。当物体远离地球，不受重力作用时，重心这个概念便失去意义，而质心却是依然有意义的。 例3-1 如图3-4所示，一长为L ，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度。为常量， 从轻端算起，求其质心。 解∶如图所示，建立坐标系，距原点处取微元段，则该微元段上质元的质量为 细杆的总质量为 由质心的定义