数学建模竞赛概率模型修订版.pptVIP

§4.5生活中的概率模型 一. 产品的分组检验 一个电子器件工厂生产二极管（diodes)。 质量管理员负责保证在产品出厂前检测次品的二极管。 估计这个厂生产的二极管有0.3%是次品。 可以对每个二极管逐个进行检验， 也可以把若干二极管串联(series)起来成组进行检验。 如果检验通不过，也就是说其中定有一个或几个二极管是次品。 已知检验一个单个的二极管的花费是5分钱， 检验一组 n 1个二极管的花费是4+n 分钱。 如果成组检验没有通过，则这一组的每一个二极管必须逐个重新检验以便于找出这些次品。 要求设计检测次品二极管的质量管理的程序使得用于检验的花费最少。 假设： 1. 分组检验时每组二极管个数相同。 2. 每个二极管是次品的事件是独立的。 参量、变量： n：分组检验时每组二极管的个数 C：一组元件检验的费用 A：平均每个二极管的检验费用（分/个） 模型 C=4+n, 如果是 n个正品 C=4+n+5n 否则 A=E(C/n) p1=Pr{n个是正品}=0.997n Pr{有次品}=1-p1=1-0.997n E(C)=(4+n) p1+(4+n+5n)(1-p) =4+6n-5np1 E(A)=(4/n)+6-5×0.997n. 当n=17时A取最小值A=1.48分/每个二极管(?) 灵敏性分析 1. 由于我们操作的特殊性对于10个或20个一批的二极管或 n 是 5 的倍数时检验起来更容易 在n=17附近平均花费A关于每组个数n的灵敏性 n 10 15 17 20 25 E(A) 1.5480 1.4870 1.4843 1.4916 1.5218 0.45% 0.73% 对于我们的问题来说，在 n = 10 和 n = 25 之间时检验的平均花费 A 没有明显的变化 2. 在检验过程中的次品率 q = 0.003 同样也是必须考虑的。这个数值可能会发生变化。 将我们上面的模型推广，我们有 A = 4/n + 6 – 5 (1 – q)n 在 n = 17 我们有 于是, q 的微小的改变很可能不会导致检验费用大的变化。 A关于q的灵敏性（n=17） 稳健性分析 稳健性分析要考虑模型的假设。 我们这里必需要假设在操作过程中接连出现次品的次数之间是无关的。 事实上，有可能由于生产环境中的一些异常的原因，如工作台的颤动或电压变化的冲击，使得次品的二极管趋向于出现在一些批次中。 这时，独立随机变量模型的数学分析就不能完全处理这个问题。 有关稳健性的问题是当前概率论研究中一个非常活跃和吸引人的分支。 实际上，模拟的结果倾向于表明基于独立随机变量的期望值模型是相当稳健的。 二. 随机事件发生（随机到达）频率的估计 某地区应急服务中心 在过去的一年内平均每月要收到171个火灾电话。 基于这个资料，该地区的火灾率估计为171次/月。 下一个月服务中心收到了153个火灾报警电话。 这个火灾率实际上减少了，还是一个随机波动？ 假设： 1. 火灾是以一定的平均速率随机发生的。 2. 相邻两次火灾报警电话的时间间隔是随机的， 不同的时间间隔是相互独立的 且都服从速率参数为λ的指数分布。 3. 该地区的正常火灾频率为171次/月 令：Tn为第n次报警电话的时间 Xn=Tn-Tn-1为第n次报警电话的时间间隔 则，Xn相互独立且有相同的分布密度 f(x,λ)=λe-λx，x≥0 对于这个分布，有期望值和方差 E(X)=1/λ，σ2=1/λ2. 这个期望值给出了平均每相邻两次报警的时间间隔 λ就给出了每单位时间收到报警的次数， 在正常的情况下将有λ=117次/月 如果下一个月所收到的不同的报警次数 与正常的情况没有区别， 则报警的时间间隔Yk 也应该服从同样的指数分布 令 Y=Y1+…+Ym， 则有E(Y)=mE(Yk)=m/λ, V(Y)=σ2=m/λ2 由概率论中的中心极限定理可知： 对于充分大的m，随机变量Y将接近于正态分布 特别是，变量 将越来越接近于标准正态分布N(0,1) 对于标准正态分布的随机变量Y*来说，可以算出