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解答题突破练(1) 1．(2019·天津市河北区模拟)已知函数f(x)＝aln x－x2＋(2a－1)x，其中a∈R. (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)讨论函数f(x)的极值，若存在，求出极值； (3)若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围． 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． 当a＝1时，f(x)＝ln x－x2＋x， f′(x)＝eq \f(1,x)－2x＋1＝－eq \f(?2x＋1??x－1?,x)， 由f′(x)0得，x1；由f′(x)0得，0x1， ∴函数f(x)的单调减区间为(1，＋∞)，单调增区间为(0,1)． (2)f(x)的定义域是(0，＋∞)， f′(x)＝eq \f(a,x)－2x＋(2a－1)＝－eq \f(?2x＋1??x－a?,x)， 若a≤0，则f′(x)＜0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值； 若a＞0，则由f′(x)＝0，解得x＝a， 当0＜x＜a时，f′(x)0，当x＞a时，f′(x)0， 此时f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减． ∴当x＝a时，函数取极大值为f(a)＝a(ln a＋a－1)，无极小值． (3)由(2)可知， 当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去； 当a＞0时，函数的极大值为f(a)＝a(ln a＋a－1)， 令g(x)＝ln x＋x－1(x0)， ∵g′(x)＝eq \f(1,x)＋10，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(1)＝0， ∴当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0. ①当0a≤1时，f(a)＝ag(a)≤0，则函数f(x)至多有一个零点，不符合题意，舍去； ②当a1时，f(a)＝ag(a)0， ∵f?eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,e)－1))－eq \f(1,e2)－eq \f(1,e)0， ∴函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，a))内有一个零点， ∵f(3a－1)＝aln(3a－1)－(3a－1)2＋(2a－1)(3a－1)＝a[ln(3a－1)－(3a－1)]， 设h(x)＝ln x－x(x2)， ∵h′(x)＝eq \f(1,x)－10，∴h(x)在(2，＋∞)内单调递减， ∴h(3a－1)h(2)＝ln 2－20，∴f(3a－1)0， ∴函数f(x)在(a,3a－1)内有一个零点， ∴当a1时，函数f(x)恰有两个不同的零点， 综上，当函数f(x)有两个不同的零点时，a的取值范围为(1，＋∞)． 2．为弘扬传统文化，某校举行诗词大赛．经过层层选拔，最终甲、乙两人进入总决赛，争夺冠军．决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分；若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜．已知甲、乙答对每道题的概率分别为eq \f(2,3)和eq \f(3,4)，且每次答题的结果相互独立． (1)若乙先答题，求甲3∶0获胜的概率； (2)若甲先答题，记乙所得分数为X，求X的分布列和期望E(X)． 解　(1)分别记“甲、乙回答正确”为事件A，B，“甲3∶0获胜”为事件C， 则P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(3,4). 由事件的独立性和互斥性，得 P(C)＝P(eq \x\to(B) Aeq \x\to(B))＝P(eq \x\to(B))P(A)P(eq \x\to(B))＝eq \f(1,4)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,24). (2)X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X＝0)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq \f(1,4)＝eq \f(1,9)， P(X＝1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq \f(3,4)×eq \f(1,4)＋Ceq \o\al(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq \f(1,9)， P(X＝2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋Ceq \o\al(1,2)×eq \f(1,3)×Ceq \o\al(1,2)×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\