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解答题突破练(3) 1．为了解A市高三学生数学备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，估计该市此次检测高三理科学生数学的平均成绩u0；(精确到个位) (2)研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X～N(μ，σ2)(μ＝μ0，σ≈19.3)． ①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的学生约占46%，据此估计本次检测理科数学成绩达到升一本的分数大约是多少？(精确到个位) ②已知A市理科考生约有10 000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是第多少名？ 说明：P(xx1)＝1－φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－μ,σ)))表示xx1的概率，φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－μ,σ)))用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X～N(0,1)，从而利用标准正态分布表φ(x0)，求xx1时的概率P(xx1)，这里x0＝eq \f(x1－μ,σ)，相应于x0的值φ(x0)是指总体取值小于x0的概率，即φ(x0)＝P(xx0)．参考数据：φ(0.705 4)＝0.54，φ(0.677 2)＝0.46，φ(0.21)＝0.583 2. 解　(1)估计该市此次检测高三理科学生数学的平均成绩 μ0＝65×0.05＋75×0.08＋85×0.12＋95×0.15＋105×0.24＋115×0.18＋125×0.1＋135×0.05＋145×0.03＝103.2≈103(分)． (2)①记本次检测理科数学成绩达到升一本的分数约为x1， 根据题意知 P(xx1)＝1－φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－μ0,σ)))＝1－φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－103,19.3)))＝0.46， 即φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1－103,19.3)))＝0.54. 由φ(0.705 4)＝0.54，得eq \f(x1－103,19.3)＝0.705 4， 解得x1≈117， 所以本次检测理科数学成绩达到升一本的分数约为117分． ②P(x107)＝1－φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(107－103,19.3)))≈1－φ(0.21) ＝1－0.583 2＝0.416 8. 所以该学生全市排名大约排在第10 000×0.416 8＝4 168(名)． 2．已知函数f(x)＝xex，g(x)＝a(ln x＋x)，a∈R. (1)已知T(x0，y0)为函数f(x)，g(x)的公共点，且函数f(x)，g(x)在点T处的切线相同，求a的值； (2)若f(x)g(x)在[1，＋∞)上恒成立，求a的取值范围． 解　(1)由题意f′(x)＝(x＋1)ex，g′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋1))， ∵点T(x0，y0)为函数f(x)，g(x)的公共点， 且函数f(x)，g(x)在点T处的切线相同， 故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝a?ln x0＋x0?，　　　　　　　　　　　　①,?x0＋1?＝a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＋1))， ②)) 且x00， 由②得，x0＝a， ∵x00，∴x00， 从而a0，∴ln x0＋x0＝ln a. 代入①得，a＝aln a，∴ln a＝1，a＝e. (2)令h(x)＝f(x)－g(x)， h′(x)＝eq \f(?x＋1??xex－a?,x)(x≥1)， ①当a≤0时，h′(x)0，h(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴h(x)≥h(1)＝e－a0，满足题意； ②当0a≤e时，∵x≥1，∴xex≥e， ∴xex－a≥0，∴h′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增， 需h(x)min＝h(1)＝e－a0，解得ae，∴0ae； ③当ae时，?x0∈(1，＋∞)使x0－a＝0， 当x∈(1，x0)时，h′(x)0，h(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)0，h(x)单调递增； h(x)min＝h(x0)＝a－a(x0＋ln x0)＝a(1－ln a)， ∵ae，∴1－ln a0， h(x)min＝h(x0)0，不恒成立， 综上，实数a的取值范围是(－∞，e)．