四库全书基本概念系列文库：九章算术.pdfVIP

四库全书基本概念系列文库—— 九九章章算算术术 华夏文明是人类最伟大的文明，没有之一！ 四库全书，在中华文化中占有 要地位。 本文提供对四库全书基本概念 “九章算术” 的解读，以供大家了解。 九九章章算算术术 九卷。 作者及成书年代不详。 《九章算术》是现有传本的最古老的中国数学经典着 作。 书中内容多反映西汉时期事例，一般认为是在较长时 期内，经多人之手纂辑修改而成，刘徽在 《九章算术 注原序》中说：“往者暴秦焚书，经术散坏。 自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善 算命世。 苍等因旧文之遗残，各称删补。 故校其目则与古或异，而所论者多近语也。” 说明 《九章》是周秦以来数学发展总结性的代表作。 《九章算术》共二百四十六道应用问题，并按问题的 性质和解法分为九大类，每类为一卷。 每一大类又分为若干小类，每一小类都有一般解题步 骤，即“术”，相当于公式。 卷一方田章三十八问二十一术，专讲各种形状地亩面 积的计算和分数的四则运算；卷二粟米章四十六问三 十三术，专论各种谷物之间的换算；卷三衰分章二十 问二十二术，论述配分比例算法，问题多与商业、手 工业及社会制度有关；卷四少广章二十四问十六术， 专讲开平方、开立方问题；卷五商功章二十八问二十 四术，论述各种土木工程中所提出的数学问题的解 法；卷六均输章二十八问二十八术，主要讲根据均输 法纳税和输送等方面的计算问题；卷七盈不足章二十 问十七术，讲盈亏类问题解法和比例问题；卷八方程 章十八问十九术，专讲多元一次方程组应用问题的解 法；卷九勾股章二十四问二十二术，专论勾股定理及 其各种应用。 总共二百四十六问二百零二术。 每道题有问有答有术，或一题一术，或一题多术、多 题一术，大部分无计算过程和演草。 从学科而论， 《九章》涉及算术、代数、几何三方面 内容。 算术方面有分数概念与计算，主要分布在卷一、二、 三各章，包括分数四则运算、约分、通分、化带分数 为假分数，其步骤与今法相同。 其中求最大公约数的“更相减损”很有创造性，可与西 方欧几里得辗转相除法媲美。 在卷二、三、六、九各节中专讲比率的各种算法，这 套理论与方法成为中算理论的主要基础，今有术则是 比率算法中最 要的法则，即四项比例算法，与比率 有关的其他算法都在今有术基础上演化而来。 实际应用中只要“ 因物成率，审辨名分”，便可据物之 比率由今有数据求得未知数据。 卷七专讲盈不足术，它在中算中亦占相当 要地位。 盈不足术是把假设试验结合于理论推证的数学方法， 通过两次假设试算，将一般应用问题化为特定的盈亏 类数学模型，从而用固定的演算程序求解，这是中算 史上一项创造，在世界数学史上占有一定地位。 《九章》中代数内容有开平方、开立方法，这是中算 方程论的基础。 开方术既简且明，计算步骤与今术相同，所不同的是 古法用筹计算，运演过程繁琐麻烦。 为了解方程需要，在方程章中出现了正负数概念与运 算法则：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负 之，负无入正之。 其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。” 这是正负数加减法则，但没有出现乘除法则。 负数概念的提出是中算发展一大里程碑，且具有世界 意义。 《九章》中的方程即联立一次方程组，其各项未知量 的系数用算筹表示有如方阵，故曰“方程” 。 包含不止一个未知量算式及联立方程组概念的提出， 全世界当推 《九章》最早。 其解法相当于现在加减消元法，但繁于今法：先遍 乘，再累减，称为“直除”法。 方程章的“五家共井” 问题，当为世界上最早的不定方 程组。 勾股章第二十题求邑方大小为一元二次方程问题，求 解答吻合于求根公式，为我国解一元二次方程起源。 几何方面的内容分布在卷一、五、九各章。 在方