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群论复习题 证明: 关于矩阵的加法构成一个群. 2.令,证明:关于矩阵的乘法构成一个群. 证明 将记作,并将中其余三个矩阵分别记作.于是,上的乘法表如下: · E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E 由于矩阵的乘法适合结合律,上的乘法适合结合律.从乘法表可知, ,,. 所以关于矩阵的乘法构成一个群. 在整数集中,令,.证明:关于这样的乘法构成一个群. 4.在中,令 ,. 求和. 5.令.证明关于矩阵的乘法构成一个半群. 6．设是一个群,证明: ,. 7.设是一个群,证明:是交换群的充要条件是 ,. 设是一个群.假设对于任意的都有,证明:是交换群. 设是数域上的级一般线性群,是的由全体阶可逆的对角矩阵组成的子集,证明:是的子群. 10.设是群的子群,,证明:也是的子群(称为的一个共轭子群). 11.设是交换群,为整数,令,证明:是的子群. 12.设是交换群,证明:的所有阶为有限的元素构成的集合是的子群. 13.设是群,,证明:与具有相同的阶. 14.设是群,,.假设的阶与的阶互素,证明:. 15.设是一个群,,都是的子群.假设不包含于且不包含于,证明: 不是的子群. 16.设是一个群,是的一个子群链,证明:是的子群. 17.证明:循环群是交换群. 证明 设是一个循环群.于是,(参看课本第12页倒数第4行).众所周知,,.所以是交换群. 18.设是无限循环群,证明:有且仅有两个生成元. 证明 由于是无限循环群,不妨设是的一个生成元.于是,也是的一个生成元,并且.这就是说,有两个不同的生成元.其次,假设是的任意一个生成元.由于,因此存在,使得.由于且,因此存在,使得.由此可见,,即或.所以有且仅有两个生成元. 19.证明:循环群的商群也是循环群. 20.设是群,,,是的一族正规子群,证明:也是的正规子群. 21.设,是群的正规子群且,证明:对于任意的,,都有. 22.设是群的子群且,证明:是的正规子群. 23.设是群的有限子群,.假设只有一个阶为的子群,证明:是的正规子群. 24.设是群,和是的子群, (1)证明:是的子群. (2)假设是的正规子群,证明:是的子群. (3)假设和都是的正规子群,证明:是的正规子群. 25.设是群,和是的子群且,若有限，求证也有限，且 26.设是群到群的同构,是群到群的同构,证明:是群到群的同构;是群到群的同构. 27.设是群的子群,是的共轭子群,证明:与同构. 28.分别建立到和到的同态来证明定理6.11. 注 定理6.11的内容如下:设是一个群,是的正规子群. (1)若是的子群,则; (2)若是的正规子群且,则. 29.设是群,,是的有限子群,证明: . 30.设是群到群的满同态,是的正规子群,证明:. 31.设,是群,证明:.
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