232等腰三角形的判定.pptxVIP

本章内容三角形第2章本课内容本节内容 等腰三角形2.3探究 在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?数学符号表示：即：若△ABC中,∠B=∠C,则AB与AC有什么关系？说一说我测量后发现AB与AC相等.探究事实上,如图, 在△ABC中,∠B=∠C.沿过点A 的直线把∠BAC 对折,得∠BAC 的平分线AD 交BC 于点Ｄ, 则∠1＝∠2.又∠B＝∠C. 由三角形内角和的性质得∠ADB ＝∠ADC.沿AD所在直线折叠, 由于∠ADB＝∠ADC, ∠1＝∠2,所以射线DB与射线DC重合,射线AB与射线AC重合．从而点B与点C重合, 于是AB ＝ AC．证明：过点A做AD ⊥BC于D.则∠ADB=∠ADC.在△ABD和△ACD中∠ABC=∠ACB∠ADB=∠ADCAD=AD所以△ABD ≌ △ACD（ASA）则AB=AC.做一做D已知△ABC中,∠ABC=∠ACB.求证：AB=AC.结论有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.结论 由此并且结合三角形内角和定理, 还可以得到等边三角形的判定定理：三个角都是60°的三角形是等边三角形.举例例1 已知：如图,在△ABC 中, AB = AC, 点D, E 分别是AB,AC上的点, 且DE∥BC.求证：△ADE为等腰三角形.证明∵ AB = AC，∴ ∠B =∠C.又∵ DE∥BC，∴ ∠ADE =∠B， ∠AED =∠C.∴ ∠ADE =∠AED.于是△ADE为等腰三角形.练习已知：如图,在等边三角形ABC的AC边上的取中点D,BC的延长线上取一点E,使得CE=CD.求证：BD=DE.证明：∵△ABC是等边三角形,D是AC中点∴∠ACB=60°,∠CBD=30°∵CD=CE∴∠E=∠CDE∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°∴∠E=30°=∠CBD∴BD=DE动脑筋 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗? 为什么?在等腰三角形ABC中， AB = AC.由三角形内角和定理得∠A +∠B +∠C = 180°.如果顶角∠A = 60°， 则∠B +∠C = 180°－ 60° = 120°.又AB = AC，∴ ∠B =∠C.∴ ∠B =∠C =∠A = 60°.∴ △ABC是等边三角形.如果底角∠B=60°（或∠C=60°），同样可以证明△ABC是等边三角形.结论有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.举例例2 已知：如图,△ABC 是等边三角形, 点D, E 分别在BA,CA的延长线上,且AD = AE.求证：△ADE是等边三角形.证明∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠BAC =∠B =∠C = 60°.∵ ∠EAD =∠BAC = 60°，又AD = AE，∴ △ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.动脑筋如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？由折叠可知：∠EBD=∠CBD，在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠CBD=∠FDB,所以∠FDB=∠EBD所以BF=DF举例例3如图，⊿ABC中,∠ACB的平分线交AB于点E,过点E作FE//BC,交AC于点O,交∠ACD的平分线于点F,求证：EO=FO.举例证明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠1=∠2，∠3=∠4. ∵EF ∥BC, ∴ ∠2=∠5，∠3=∠6, ∴ ∠1=∠5，∠4=∠6, ∴EO=CO,FO=CO, ∴EO=FO.小结与复习等腰三角形的判定方法有哪些？等边三角形的判定方法有哪些？中考 试题如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．例1 中考 试题（1）在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15o，∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC， ∴∠DCA=∠DCB=45o．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；中考 试题（2）如图，连接MC，∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD． 又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB． 结 束