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技术数学郑州电力高等专科学校史成堂CH1习题课教材：杨文茂 李全英谈极限在一元微分学中的地位极限概念极限的主要性质极限的主要计算方法极限中的主要关系微积分创始人牛顿—莱布尼兹1665.5.20高等数学的研究方法极限的方法高等数学的研究对象 函 数绪? 初等数学是用有限的方法研究常量的数学 高等数学是用极限的方法研究函数的数学 极限是高等数学区别初等数学的一个重要标志， 极限是初等数学向高等数学飞跃的天梯 极限的方法将贯穿高等数学的始终第一部分谈极限在一元微分学中的地位奇偶性有界性 单调性连续性收敛性周期性 提示我们定性地研究了：有界性 奇偶性连续性单调性定义域极限值极 值最 值 我们定量地研究了：第二部分极限概念有界性唯一性保号性第三部分极限的主要性质第四部分极限中的主要关系第四部分 极限中的主要关系 【收敛与有界的关系】 【无穷大与无界的关系】【收敛变量与其极限的关系】 【无穷大与无穷小的关系】 【单侧极限与双侧极限的关系】 【函数极限与数列极限的关系】 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 【无穷小与无穷小的关系】?无穷小 +无穷小=无穷小无穷小－无穷小=无穷小无穷小×无穷小=无穷小有界量×无穷小=无穷小常 量×无穷小=无穷小 【极限符号与函数符号的关系】 【数列极限与其子列极限的关系】 ?第五部分极限的主要计算方法例题分析一、利用极限运算法则及连续性求极限例1★ 直接代入二、利用初等代数公式求极限 例2★应用等比数列公式例3例4其中例5= …...例6三、利用无穷小分出法求极限重要结论例7四、利用有理分式函数的极限求极限规律 例8例9例10例11因此,有例12==b★分子分母同除以最大项例13==五、利用无穷小的性质求极限例14===★无穷小代换=0★常量×有界量×无穷小=0=0例15=★无穷小×有界量例16(1)六、利用两个重要极限求极限第一重要极限重要极限的特征注意以下问题重要推论例17例18(2)重要极限的特征例19注意到:例如:=1例20解例21 例22 求极限tg x□～□arcsin□～□arctg□～□ln(1+□)～□□～□七、 无穷小代换法常用的等价无穷小代换原则:★九、 利用极限准则(Ⅰ)求极限【准则1】单调有界必有极限例23.已知:证明数列极限存在证: (一)而 (二) 综上所述可知存在 已知:存在吗?若存在,求出若不存在,说明理由.(三) 两边取极限得:例24问十、 利用极限准则(Ⅱ)求极限【准则2】两边夹定理例25已知解:则而所以十三、利用数列极限与函数极限的关系求极限例26例27例28注意到:所以已知时,取何值?十四、极限中常数的确定例29.由题可知: 而:所以 任意求的值于是例30解 因为 所以即 七、多元函数的极限与连续1、多元函数的定义：2、多元函数的定义域：3、多元函数的极限：4、多元函数的连续1、区域（1）邻域（2）区域连通的开集称为区域或开区域．（3）聚点（4）n维空间2、多元函数概念定义类似地可定义三元及三元以上函数．3、多元函数的极限（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限说明：（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．4、极限的运算5、多元函数的连续性6、多元连续函数的性质（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．典型例题（多元函数部分）例1解例2解例3解于是可得,例4解作业Page29 3(1、4、7、9、11、13、16、17、19)；5；6。当时，，而，故注意例题分析例1